JulieScholler-BureauB246 ’ 1 É C1.S ’ 1

(1)

C1. S

UITES RÉCURRENTES D

’

ORDRE

1

OU

É

QUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES D

’

ORDRE

1

Julie Scholler - Bureau B246

février 2021

.

Suite récurrente

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est une suite récurrente d’ordre p ∈ N^∗ s’il existe une fonction f telle que

∀n ∈ N, u_n+p = f (u_n+p₋₁,u_n+p−2, . . . ,u_n,n)

Suite récurrente linéaire à coefficients constants

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est une suite récurrente linéaire à coefficients constants d’ordre p ∈ N^∗ s’il existe des réels

a₁, . . . ,a_p,b et une fonction f tels que

∀n ∈ N, u_n+p = a₁u_n+p−1 + a₂u_n+p₋₂ + · · ·+a_pu_n + f(n) u_n+p − a₁u_n+p₋₁ − a₂u_n+p−2 − · · · −a_pu_n = f(n)

(2)

I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Suites récurrentes linéaire d’ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant

∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b

Cas particuliers

• a = 0 : suite constante égale à b à partir du rang 1

• b = 0 : suite géométrique de raison a

• a = 1 et b = 0 : suite constante

• a = 1 et b 6= 0 : suite arithmétique de raison b

→ Suites arithmético-géométriques, si a 6= 1

Exemples

• Compte épargne :

u₀ = 100 et ∀n ∈ N, u_n+1 = (1 +t)u_n + 10

• Évolution de capital :

K_n+1 = (1 −δ)K_n + I avec 0 < δ < 1 Questions

• Compte épargne :

• Combien d’argent aura-t-on sur le compte au bout d’un an (12 périodes) ?

• Au bout de combien de temps aura-t-on 1000 euros sur le compte ?

• Évolution de capital : comportement sur le long terme

(3)

Point d’équilibre

Un point d’équilibre ou une valeur stationnaire d’une équation aux différences finies est une valeur de u₀ pour laquelle le système est stationnaire, c’est-à-dire un+1 = un, pour tout entier positif n.

Point fixe

Un point d’équilibre est un point fixe de la fonction f définissant la relation de récurrence.

Vocabulaire On parle de

• point d’équilibre d’une équation

• point fixe d’une fonction

Terme général d’une suite arithmético-géométrique Soit (u_n)_n∈_N telle que ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b, avec a 6= 1.

On pose ` l’unique solution de l’équation ` = a` +b.

Alors

• la suite de terme général u_n − ` est une suite géométrique de raison a

• pour tout entier n positif ou nul, on a

u_n = aⁿ(u₀ − `) +` = aⁿ⁻¹(u₁ − `) +`

(4)

Limite

Soit (u_n)_n∈_N telle que ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b, avec a 6= 1.

• La suite (u_n)_n∈_N converge si et seulement si |a| < 1.

• Si elle converge, alors sa limite est ` = b 1−a.

Quand une suite arithmético-géométrique converge, sa limite est le point d’équilibre de l’équation aux différences finies vérifiée par la suite.

Exemples

• Compte épargne

u₀ = 100 et ∀n ∈ N, u_n+1 = (1 +t)u_n + 10

u_n = 1.01ⁿ(u₀ + 1000)−1000 = 1.01ⁿ×1100−1000 −−−−→

n→+∞ +∞

• Évolution de capital

K_n+1 = (1 −δ)K_n + I avec 0 < δ < 1

(5)

Les différents comportements : cas où 0 < a < 1

• 0 < a < 1 et u₀ < ` : convergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

`

×

× × × ×

• 0 < a < 1 et u₀ > ` : convergence régulière

u₀ u₁

u₁ u2

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u6

`

×

× × × ×

Les différents comportements : cas où a > 1

• a > 1 et u₀ > ` : divergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆

`× × ×

×

• a > 1 et u₀ < ` : divergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆

`× × ×

×

(6)

Modèle de Cobweb

Demande : Q_t^d = α −βP_t (α, β > 0) Offre : Q_t^s = −γ + δP_t−1 (γ, δ > 0) Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

P_t = −δ

βP_t +δP_t−1

Point d’équilibre : ` = α + γ β +δ Terme général : P_t =

δ

β

t

P₀ − α +γ β + δ

+ α+ γ β +δ

Les différents comportements : cas où a < 0

• a < −1 : divergence oscillatoire, oscillations explosives

u₀ u₁

u₁ u2

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₇ u₈

u₆

`× × ×

× ×

×

• −1 < a < 0 : convergence oscillatoire, oscillations amorties

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆

`

×

× ×

× × ×

(7)

Les différents comportements

Cas particuliers

Cas a = 1 :

divergence régulière

`

× × × × × ×

Cas a = −1 :

divergence oscillatoire,

oscillations entretenues `

× × ×

II. Équations aux différences finies d’ordre 1 non linéaires

Équation aux différences finies non linéaire homogène du premier ordre

y_t+1 = f(y_t), ∀t ∈ N ou

u_n+1 = f(u_n), ∀n ∈ N avec f : I → R, I ⊂ R

On se limite au cas où f est continue sur I. Premiers exemples

• ∀n ∈ N, u_n+1 = u_n²

• ∀n ∈ N, v_n+1 = √ v_n

• ∀n ∈ N, w_n+1 = 1 1−w_n

(8)

Existence du processus

Intervalle stable par une fonction

Soit f une fonction telle que f : D → R avec D ⊂ R.

On dit qu’un intervalle I ⊂ D est stable par f si et seulement si f (I) ⊂ I.

Cas de bonne définition d’une suite

Si l’intervalle I est stable par f et si le premier terme u₀ appartient à l’intervalle I, alors pour tout entier naturel n, le terme u_n existe et appartient à I.

valeur de u₀ telle que u_n+1 = u_n, ∀n ∈ N Point fixe de f

valeur x telle que f(x) = x

Les points d’équilibre de l’équation u_n+1 = f(u_n) correspondent aux points fixes de la fonction f .

Limite potentielle

Si la suite (u_n)_n∈_N converge, alors elle converge vers un point fixe de la fonction f , c’est-à-dire vers un de ses états d’équilibre.

(9)

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

1. Soit (u_n)_n∈_N une suite croissante.

• Si (u_n)_n∈_N est majorée par M, alors elle converge vers ` 6 M.

• Si (un)_n∈_N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

2. Soit (u_n)_n∈_N une suite décroissante.

• Si (u_n)_n∈_N est minorée par m, alors elle converge vers ` > m.

• Si (u_n)_n∈_N n’est pas minorée, alors elle diverge vers −∞.

u

_n+1

= u

_n²

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

(10)

u

_n+1

= u

_n²

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

u

_n+1

= √ u

_n

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

(11)

u

_n+1

= √ u

_n

u0

u₁

u1

u₂

u2

u₃

u3

u₄

u4

u₅

Cas où f est croissante

Si f est croissante, alors la suite (u_n)_n∈_N est monotone.

Plus précisément on a :

1. si u₀ 6 u₁, la suite (u_n)_n∈_N est croissante ; 2. si u₀ > u₁, la suite (u_n)_n∈_N est décroissante.

(12)

Méthode quand f est croissante

• Si (u_n)_n∈_N est croissante et majorée par M, alors elle converge vers un point fixe ` de f tel que ` 6 M.

• Si (u_n)_n∈_N est décroissante et minorée par m, alors elle converge vers un point fixe ` de f tel que ` > m.

• Si (u_n)_n∈_N est croissante (resp. décroissante) et ne semble pas majorée (resp. minorée), on peut raisonner par l’absurde en supposant que la suite converge vers un réel ` et on essaie de trouver une contradiction concernant `.

Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est croissante (resp. décroissante), elle diverge vers +∞ (resp.

−∞).

u

_n+1

= u

_n⁻²

u₀ u₁

u₁ u2

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄

(13)

Méthode quand f est décroissante

Sous-suites extraites des rangs pairs et impairs

∀n ∈ N, a_n = u_2n et b_n = u_2n+1. On a

a_n+1 = u_2(n+1) = u_2n+2 = f(u_2n+1) = f(f(u_2n)) = (f ◦f )(a_n) a_n+1 = (f ◦f)(a_n)

On remarque que la fonction f ◦f est croissante.

On peut étudier comme précédemment les suites (a_n)_n∈_N et (b_n)_n∈_N.

Puis on compare leurs limites.

Exemple de modèle de Cobweb non linéaire

Rappel : cas linéaire

Demande : Q_t^d = α− βP_t (α, β > 0) Offre : Q_t^s = −γ + δP_t−1 (γ, δ > 0) Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

État initial : P₀ = p₀ (p₀ ∈ [0 ; 1]) Exemple de situation non linéaire

Demande : Q_t^d = 1− P_t

Offre : Q_t^s = P

1 2

t−1

Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

État initial : P₀ = p₀ (p₀ ∈ [0 ; 1])

(14)

Cobweb non linéaire : u

_n+1

= 1 − √ u

_n

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₅

Si f n’est pas monotone

Exemple d’une population de poissons avec pêche : y_t+1 = 2y_t(1 −y_t) −H

= 2y_t −2y_t² − H

avec H prélèvement autorisé de poisson fixé par convention internationale (ici H = 0.08).

Points d’équilibre : ` = 2`² − `+H = 0 ⇔ ` = 0.4 ou ` = 0.1.

Représentation graphique :

f(x) = −2x² −2x −0.08, f⁰(x) = 2− 4x : f ⁰(x) = 0 ⇔ x = 0.5 f⁰(0.4) = 0.4, f⁰(0.1) = 1.4, f(0) = −0.08, f(0.5) = 0.42,

f(x) = 0 ⇒ x ' 0.98 ou 0.02

(15)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08

0.1 0.4

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec u

₀

< 0.1

0.1 0.4

(16)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.1 < u

₀

< 0.4

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

0.1 0.4

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.4 < u

₀

< 0.6

u₀ u₁

u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u7

0.6 0.4 0.5

(17)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.6 < u

₀

< 0.9

u₀ u₁

u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₇ u₈

0.1 0.4 0.6 0.9

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.9 < u

₀

< 0.958

u₀ u₁

u₂

u₂ u3

u₃ u₄

u₄

u₅ 0.1 0.9

(18)

Suite logistique : u

_n+1

= ru

_n

(1 − u

_n

)

Exemple avec r = 2

0.5

Suite logistique avec r = 3

(19)

Suite logistique avec r qui varie de 1.2 à 4

r = 1.2