JulieScholler-BureauB246 C 2.S

C

2. S

Julie Scholler - Bureau B246

Novembre 2020

I. Introduction

Précédemment

• uniquement étude univariée des variables

• une fois selon les groupes définis par une variable qualitative

L1 L2 L3

4 8 12 16 20

Note totale selon l’année

I. Introduction

Observation des données brutes

Sexe Femme Femme Homme Femme Femme Homme Femme Homme

Année L1 L1 L1 L1 L1 L2 L1 L3

Sexe Femme Femme Homme Femme Femme Homme Femme Homme Bac Bac ES Bac S Bac ES Bac ES Bac ES Bac ES Bac S Bac S Année L1 L1 L1 L1 L1 L2 L1 L2 L2 L3 L1 L3 L3 L3 L3

Éco n juste 9 5 5 8 5 7 6 9 8 9 8 9 8 9 9

Année L1 L1 L1 L1 L1 L2 L1 L2 L3

Note éco [16,20] [8,12[ [8,12[ [16,20] [8,12[ [12,16[ [12,16[ [16,20] [12,16[

II. Notations

Tableau de contingence

• x₁,x₂, . . . ,x_p : les p modalités de X

• y₁,y₂, . . . ,y_q : les q modalités de Y

• n_i,j : l’effectif des individus ayant pour caractère (x_i,y_j)

y₁ y₂ · · · y_j · · · y_q

x₁ n_1,1 n_1,2 · · · n_1,j · · · n_1,q

x₂ n_2,1 n_2,2 · · · n_2,j · · · n_2,q ... ... ... . .. ... ... x_i n_i,1 n_i,2 · · · n_i,j · · · n_i,q

... ... ... ... . .. ... x_p n_p,1 n_p,2 · · · n_p,j · · · n_p,q

II. Notations

Quelques exemples

Sexe

Année

L1 L2 L3 Homme 41 25 17 Femme 25 9 12

Année

Éco n juste

2 3 4 5 6 7 8 9 10 L1 1 2 2 11 7 16 15 12 0 L2 0 0 0 2 8 4 7 12 1

L3 0 0 2 2 2 3 9 8 3

Bac

Année

L1 L2 L3 Bac ES 39 16 15 Bac S 24 18 13 Bac STMG 2 0 1

Bac pro. 1 0 0

Année

Note éco

[0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20]

L1 0 4 17 26 19

L2 0 0 4 16 14

L3 0 2 3 7 17

II. Notations

Tableau de contingence

• n_•j : effectif des individus prenant la modalité y_j pour Y

• n_i• : effectif des individus prenant la modalité x_i pour X

• n_•• = n : effectif total de la population

y₁ y₂ · · · y_j · · · y_q Total

x₁ n_1,1 n_1,2 · · · n_1,j · · · n_1,q n_1•

x₂ n_2,1 n_2,2 · · · n_2,j · · · n_2,q n_2•

... ... ... . .. ... ... ... x_i n_i,1 n_i,2 · · · n_i,j · · · n_i,q n_i•

... ... ... ... . .. ... ... x_p n_p,1 n_p,2 · · · n_p,j · · · n_p,q n_p•

Total n_•1 n_•2 · · · n_•j · · · n_•q n_••

II. Notations

L1 L2 L3 Total

Bac ES 39 16 15 70

Bac S 24 18 13 55

Bac STMG 2 0 1 3

Bac pro. 1 0 0 1

Total 66 34 29 129

Remarques

• n_•• = 129, n_•,3 = 29, n_1,• = 70

• n_i• =

q

X

j=1

n_ij et n_•j =

p

X

i=1

n_ij

• n =

p

X

i=1

n_i• =

q

X

i=1

n_•j

II. Notations

Représentations graphiques

0 20 40 60

ES S STMG Pro.

Baccalauréat

Effectifs

0 10 20 30 40

ES S STMG Pro.

Baccalauréat

Effectifs

Année

L1 L2 L3

0 20 40 60

L1 L2 L3

Année

Effectifs

0 10 20 30 40

L1 L2 L3

Année

Effectifs

Bac

Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro.

III. Distribution

Distribution jointe de (X,Y)

fréquences d’observations des différents couples de modalités f_i,j = n_i,j

n

Tableau des fréquences

y₁ y₂ · · · y_j · · · y_q

x₁ f_1,1 f_1,2 · · · f_1,j · · · f_1,q ... ... ... . .. ... ... x_i f_i,1 f_i,2 · · · f_i,j · · · f_i,q

... ... ... ... . .. ... x_p f_p,1 f_p,2 · · · f_p,j · · · f_p,q

III. Distribution

Tableau des fréquences

Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro.

L1 0.302 0.186 0.016 0.008

L2 0.124 0.140 0 0

L3 0.116 0.101 0.008 0

Tableau des fréquences avec marges

Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro. Total

L1 0.302 0.186 0.016 0.008 0.512

L2 0.124 0.140 0 0 0.264

L3 0.116 0.101 0.008 0 0.225

Total 0.543 0.426 0.023 0.008 1

III. Distribution

Tableau des fréquences avec marges

y₁ y₂ · · · y_j · · · y_q Total

x₁ f_1,1 f_1,2 · · · f_1,j · · · f_1,q f_1•

... ... ... . .. ... ... ... x_i f_i,1 f_i,2 · · · f_i,j · · · f_i,q f_i•

... ... ... ... . .. ... ... x_p f_p,1 f_p,2 · · · f_p,j · · · f_p,q f_p•

Total f_•1 f_•2 · · · f_•j · · · f_•q f_••

On a f_i• =

q

X

j=1

f_i,j f_•j =

p

X

i=1

f_i,j f_•• =

q

X

j=1

f_•j =

p

X

i=1

f_i• = 1

III. Distribution

Distribution marginale de X

Il s’agit de la distribution univariée de X. Elle correspond aux fréquences suivantes :

f_i• = n_i•

n_•• = n_i• n

Distribution marginale de Y

Il s’agit de la distribution univariée de Y. Elle correspond aux fréquences suivantes :

f_•j = n_•j

n_•• = n_•j n

III. Distribution

Tableau des fréquences avec distributions marginales

Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro. Marginale

L1 0.302 0.186 0.016 0.008 0.512

L2 0.124 0.140 0 0 0.264

L3 0.116 0.101 0.008 0 0.225

Marginale 0.543 0.426 0.023 0.008 1

III. Distribution

Distributions conditionnelles

Distribution conditionnelle de X sachant Y = y_j

Il s’agit de la distribution de X parmi les individus prenant la modalité y_j pour la variable Y.

Elle correspond aux fréquences suivantes : f_i|yj = n_i,j

n_•j

X Y Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro. Marginale

L1 0.557 0.436 0.667 1 0.512

L2 0.229 0.327 0 0 0.264

L3 0.214 0.236 0.333 0 0.225

Total 1 1 1 1 1

III. Distribution

Distribution conditionnelle de Y sachant X = x_i

Il s’agit de la distribution de Y parmi les individus prenant la modalité x_i pour la variable X.

Elle correspond aux fréquences suivantes : f_j|xi = n_ij

n_i•

X Y Bac ES Bac S Bac STMG Bac pro. Total

L1 0.591 0.364 0.030 0.015 1

L2 0.471 0.529 0 0 1

L3 0.517 0.448 0.034 0 1

Marginale 0.543 0.426 0.023 0.008 1

III. Distribution

Représentations graphiques

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

ES S STMG Pro.

Baccalauréat

Année ^{L1 L2 L3}

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

L1 L2 L3

Année

Bac

Bac ES Bac S

Bac STMG Bac pro.

IV. Cas avec une variable quantitative

Nombre de bonnes réponses en maths et bac

Bac

Nb. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

ES 1 4 5 8 15 13 12 3 9 0 0 70

S 0 0 1 1 6 8 14 17 5 1 2 55

STMG 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3

Pro. 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Total 1 5 6 10 21 21 27 20 14 1 3 129

Bac

Nb. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

ES 0.008 0.031 0.039 0.062 0.116 0.101 0.093 0.023 0.070 0 0 0.543 S 0 0 0.008 0.008 0.047 0.062 0.109 0.132 0.039 0.008 0.016 0.426

STMG 0 0.008 0 0.008 0 0 0 0 0 0 0.008 0.023

Pro. 0 0 0 0 0 0 0.008 0 0 0 0 0.008

Total 0.008 0.039 0.047 0.078 0.163 0.163 0.209 0.155 0.109 0.008 0.023 1

IV. Cas avec une variable quantitative

Nombre de bonnes réponses en maths et bac

Bac

Nb. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

ES 0.014 0.057 0.071 0.114 0.214 0.186 0.171 0.043 0.129 0 0 1 S 0 0 0.018 0.018 0.109 0.145 0.255 0.309 0.091 0.018 0.036 1

STMG 0 0.333 0 0.333 0 0 0 0 0 0 0.333 1

Pro. 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Total 0.008 0.039 0.047 0.078 0.163 0.163 0.209 0.155 0.109 0.008 0.023 1

Bac

Nb. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

ES 1 0.8 0.833 0.8 0.714 0.619 0.444 0.15 0.643 0 0 0.543 S 0 0.0 0.167 0.1 0.286 0.381 0.519 0.85 0.357 1 0.667 0.426

STMG 0 0.2 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0.333 0.023

Pro. 0 0 0 0 0 0 0.037 0 0 0 0 0.008

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

IV. Cas avec une variable quantitative

Modalités de la variable qualitative

→ découpage en groupes de la population totale

Nouveaux outils pour l’étude du lien entre les deux variables

• comparaison des différents indicateurs des sous-groupes

• comparaison de diagrammes en boîte

Bac ES Bac S

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Nombre de bonnes réponses en Maths

Série du b a c

IV. Cas avec une variable quantitative

Vidéos de Risque Alpha à propos de la variance expliquée (7 premières minutes)

https://www.youtube.com/watch?v=MSuFckow8ms&list=

PLjD7j1kR73YQiYXgVRhmQH56dRnN6UEIV&index=6

IV. Cas avec une variable quantitative

Moyennes marginale et conditionnelles

Moyenne marginale de X x = 1

n

p

X

i=1

n_i•x_i =

p

X

i=1

f_i•x_i

Moyenne conditionnelle de X conditionnée par Y = y_j x_j = 1

n_•j

p

X

i=1

n_ijx_i =

p

X

i=1

f_i|yjx_i

Dans notre exemple, parmi les bacs S et ES, on a : x = 669

125 ' 5.35 x_ES = 328

70 ' 4.69 x_S = 341

55 = 6.2

IV. Cas avec une variable quantitative

Moyennes marginale et conditionnelles

Moyenne marginale de X x = 1

n

p

X

i=1

n_i•x_i =

p

X

i=1

f_i•x_i

Moyenne conditionnelle de X conditionnée par Y = y_j x_j = 1

n_•j

p

X

i=1

n_ijx_i =

p

X

i=1

f_i|yjx_i

Formule de décomposition de la moyenne x = 1

n

p

X

i=1

n_i•x_i

IV. Cas avec une variable quantitative

Variances marginale et conditionnelles

Variance marginale de X

V(X) = σ_X² = 1 n

p

X

i=1

n_i•(x_i −x)² =

p

X

i=1

f_i•(x_i −x)²

Variance conditionnelle de X conditionnée par Y = y_j

V_yj(X) = 1 n_•j

p

X

i=1

n_ijx_i² − x²_j =

p

X

i=1

f_i|yjx_i² −x²_j

Dans notre exemple, parmi les bacs S et ES, on a :

V(X) ' 3.8601 V(X_ES) ' 3.9869 V(X_S) ' 2.4145 σ_X ' 1.9647 σ_X,ES ' 1.9967 σ_X,S ' 1.5539

IV. Cas avec une variable quantitative

Décomposition de la variance

V(X) = 1 n

p

X

i=1

n_i•V_i(X)

| {z }

variance intra-groupes

+ 1 n

p

X

i=1

n_i•(x_i −x)²

| {z }

variance inter-groupes

Variance inter-groupes

correspond à la variance de X si dans chaque groupe tous les individus prenaient comme valeur la moyenne au sein du groupe

• on parle aussi de variance expliquée par le découpage en groupe

Variance intra-groupes

correspond à la moyenne des variance des sous-groupes

• on parle aussi de variance résiduelle

IV. Cas avec une variable quantitative

Décomposition de la variance

V(X) = 1 n

p

X

i=1

n_i•V_i(X)

| {z }

variance intra-groupes

+ 1 n

p

X

i=1

n_i•(x_i −x)²

| {z }

variance inter-groupes

Interprétation

• Si les variables sont liées, alors les groupes déterminés par la variable qualitative sont plus homogènes par rapport à la variable quantitative que la population totale.

• Plus les variables sont liées, plus la variance intra-groupes est faible et plus la variance inter-groupes est grande.

IV. Cas avec une variable quantitative

Mesure de lien

Rapport de corrélation

Le rapport de corrélation entre les variables X quantitative et Y qualitative la valeur suivante

η_X²_|Y = V_inter V_X

Propriétés

• 0 6 η_X²_|Y 6 1

• Si η²_X|Y = 0, alors V_inter = 0.

• Si η²_X|Y = 1, alors V_intra = 0.

IV. Cas avec une variable quantitative

Propriétés

• Si η_X²_|Y = 0, alors Vinter(X) = 0, tous les groupes ont la même moyenne.

Il n’y a pas de différence entre les groupes. La variance est uniquement due aux disparités au sein de chaque groupe.

• Si η_X²_|Y = 1, alors V_intra = 0. Au sein de chaque groupe il n’y a pas de variation.

La variation de X est entièrement due à la différence entre groupes.

Interprétation

• Plus η_X²_|Y est proche de 0, plus c’est la variation au sein de chaque groupe et non la différence entre les groupes qui influe sur les variations de X.

• Plus η_X²_|Y est proche de 1, plus c’est la différence entre les groupes qui explique la variation du caractère X.

IV. Cas avec une variable quantitative

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Bac ES Bac S

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Nombre de bonnes réponses en Maths

Série du bac

ES S ES et S

Effectifs 70 55 125

Moyenne 4.69 6.2 5.35

Variance 3.9869 2.4145 3.8601

V_intra ' 3.2951 V_inter ' 0.5650 η_X²_|Y ' 0.1464

IV. Cas avec une variable quantitative

Lien entre bonnes réponses en maths et note finale

Maths

Note totale

[0,4[ [4,8[ [8,10[ [10,12[ [12,16[ [16,20]

[0,4[ 0 11 5 6 0 0

[4,6[ 0 3 16 16 7 0

[6,8[ 0 4 12 14 17 0

[8,10] 0 0 0 0 16 2

η_X²_|Y ' 44%

[0,4[

[4,6[

[6,8[

[8,10]

4 8 12 16 20

Note totale

Bonnes rép onses