JulieScholler-BureauB246 I C 1.S Outilsderésumé

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DESCRIPTIVES UNIDIMENSIONNELLES

I

NDICATEURS SYNTHÉTIQUES DE TENDANCE CENTRALE

Julie Scholler - Bureau B246

Novembre 2020

.

Outils de résumé

• tableaux synthétiques

• si beaucoup de modalités : peu lisible

• graphiques

• si bien choisi : très parlant

• comparaison pas forcément très aisée

• indicateurs synthétiques, principalement numériques

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L1 L2 L3

5 10 15 20 5 10 15 20 5 10 15 20

0 5 10

15 annee

L1 L2 L3

Note totale au QCM

Homme Femme

5 10 15 20 5 10 15 20

0 5 10 15 20

sexe

Homme Femme

.

littérature maths sport

économie géographie histoire

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

Notes par thème

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Mode(s)

Valeur/modalité la plus fréquente dans la distribution d’une variable

Bac pro.

Bac STMG Bac S Bac ES

0 20 40 60

Effectif

Effectif par filière de bac

0 5 10 15 20

5 10 15 20

Effectif

Note pour le thème économie

• Mode pour le baccalauréat : ES • Note modale en économie : 17

IV. Indicateurs de tendance centrale

Notes totales en L1 Effectif

[0,4[ 0

[4,6[ 5

[6,8[ 8

[8,10[ 18

[10,11[ 10

[11,13[ 11

[13,14[ 7

[14,16[ 7

[16,20] 0

0.00 0.05 0.10 0.15

5 10 15

Note totale au QCM

pour les L1

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Mode

Variable quantitative continue

• on parle de classe modale

• il s’agit de la classe ayant la plus grande densité d’effectif

Attention - pour tout type de variable

• non nécessairement unique

Moyenne

Moyenne arithmétique la valeur x telle que x = 1

n

X

i=1

x_i

Il s’agit de la valeur que devrait prendre l’ensemble des unités statistiques si elles étaient identiques tout en conservant la même somme globale.

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Calcul à partir d’un tableau synthétique

Variable Effectif Fréquence

m₁ n₁ f₁

m₂ n₂ f₂

... ... ...

m_M n_M f_M

x = 1 n

M

X

k=1

n_km_k =

M

X

k=1

f_km_k

• moyenne des modalités pondérée par les effectifs ou les fréquences

Moyenne pondérée

Note totale au QCM

Année de licence Moyennes Effectifs

L1 10.093 66

L2 10.956 34

L3 11.316 29

Total 10.6 129

• Moyenne non pondérée des moyennes : 10.8

• Moyenne pondérée des moyennes : 10.6

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Notes totales en L1 Effectif

[0,4[ 0

[4,6[ 5

[6,8[ 8

[8,10[ 18

[10,11[ 10

[11,13[ 11

[13,14[ 7

[14,16[ 7

[16,20] 0

Si on ne dispose que des données regroupées en classes, on calcule une valeur approchée de la moyenne en utilisant les centres de classes.

Centre de la classe [b_k;b_k+1[ : c_k = b_k + b_k+1

2

x ' 1 n

M

X

k=1

n_kc_k

On obtient x ' 10.295 Véritable valeur x = 10.093

Propriétés de la moyenne

• La somme des écarts des observations à la moyenne (x_i − x) est nulle :

n

X

i=1

(x_i − x) = 0

• La moyenne d’une somme de caractères est la somme des moyennes de ces caractères.

• La somme des carrés des écarts des observations à la moyenne est inférieure à la somme des carrés des écarts par rapport à toute autre valeur.

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Phénomènes paradoxaux autour de la moyenne

Phénomène de Will Rogers

En changeant une valeur de groupe, on peut améliorer les moyennes de chaque groupe.

Paradoxe de Simpson

Un phénomène observé sur plusieurs groupes s’inverse quand on combine les groupes.

• article du blog Freakonometrics :

https://freakonometrics.hypotheses.org/231

Taux de mortalité des fumeuses

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Non fumeuse Fumeuse

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

18-2425-3435-4445-5455-6465-74 75+

Non fumeuse Fumeuse

Appleton, D. R., French, J. M. and Vanderpump, M. P. J. (1996) Ignoring a covariate : An example of Simpson’s paradox. The American Statistician, 50, 340–341.

(8)

Cas où la moyenne arithmétique n’est pas adaptée

• Taux de variation moyen t₁, . . . ,t_n : taux de variation

x₁, . . . ,x_n : facteur multiplicatif (x_i = 1 + t_i)

Moyenne géométrique

x_G = √ⁿ

x₁ × · · · ×x_n =

n

Y

i=1

x_i

!¹

n

Médiane

Première définition

Valeur telle que la moitié de la population possède une modalité inférieure à cette valeur et l’autre moitié possède une valeur supérieure à cette valeur.

Exemples

• revenu salarial médian en 2015 : 18 370

• revenu salarial médian des femmes en 2015 : 16 750

• revenu salarial médian des hommes en 2015 : 20 030

• âge médian des français en 2018 : 40.5

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Médiane

Deuxième définition

Plus petite valeur de la série de données telle qu’au moins la moitié de la population prend une valeur inférieure ou égale à celle-ci.

Propriété de la médiane

• Elle minimise l’écart absolu moyen.

• Moins sensible que la moyenne aux valeurs extrêmes.

Site pour expérimenter :

https://frama.link/comparaison_moyenne_mediane

Médiane - en pratique

Cas discret ou données brutes

On commence par classer par ordre croissant les données.

• Si l’effectif est impair, la médiane est la

n + 1 2

e

valeur.

• Si l’effectif est pair, on a un intervalle médian n

2 e

valeur;

n 2 + 1

e

valeur

.

On choisit pour médiane soit la moyenne des bornes de l’intervalle, soit la plus petite borne.

Cas de données regroupées en classe

Si les données sont regroupées en classe, on a une classe médiane.

Si on n’a pas accès aux données brutes, on peut calculer une valeur approchée.

(10)

Exemples sur nos données

• Notes des L3 : n = 29 Médiane : 15^e valeur Médiane : 11.83

• Notes des L2 : n = 34 Intervalle médian : [16^evaleur; 17^evaleur] = [10.67; 10.67]

Médiane : 10.67

• Notes des L1 : n = 66 Intervalle médian :

[33^evaleur; 34^evaleur] = [10; 10]

Médiane : 10

• Notes des L1 regroupées en classe

Notes totales en L1 Eff. Eff. cum.

[0,4[ 0 0

[4,6[ 5 5

[6,8[ 8 13

[8,10[ 18 31

[10,11[ 10 41

[11,13[ 11 52

[13,14[ 7 59

[14,16[ 7 66

[16,20] 0 66

Fréquences cumulées

Variable Fréquences Fréquences cumulées

m₁ f₁ F₁ = f₁

m₂ f₂ F₂ = f₁ + f₂

... ... ...

m_k f_k F_k =

k

X

i=1

f_i

... ... ...

m_M f_M F_M = 1

(11)

Fonction cumulative ou fonction de répartition

fonction F telle que F(x) correspond à la proportion d’individu dont la modalité est inférieure ou égale à x.

• F(m_k) = F_k =

k

X

i=1

f_i

Médiane

plus petite valeur x telle que F(x) > 0.5

Nombres de bonnes réponses en sport - Fréquences cumulées

Nb. de rép. justes Fréq. Fréq. cum.

0 0.02 0.02

1 0.04 0.06

2 0.04 0.09

3 0.10 0.20

4 0.20 0.40

5 0.21 0.61

6 0.18 0.78

7 0.11 0.89

8 0.08 0.98

10 0.02 1.00

• Plus de la moitié des étudiants ayant participé au QCM a eu 5 bonnes réponses ou moins au thème sport.

• Plus des trois quarts des étudiants ayant participé au QCM ont eu 6 bonnes réponses ou moins au thème sport.

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Courbe cumulative - Cas discret

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Courbe cumulative du nombre de bonnes réponses au thème sport

Notes des L1 - Fréquences cumulées

Notes Fréquences cumulées

[0,2[ 0.00

[2,4[ 0.00

[4,6[ 0.08

[6,8[ 0.20

[8,10[ 0.47

[10,11[ 0.62

[11,13[ 0.79

[13,14[ 0.89

[14,16[ 1.00

[16,20] 1.00

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Courbe cumulative - Cas avec classes

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 5 10 15 20

Courbe cumulative des notes des L1 regroupées en classes

Courbe cumulative - Cas avec classes

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 5 10 15 20