LES FONCTIONS EXPONENTIELLES I) DEFINITION

LES FONCTIONS EXPONENTIELLES

I) DEFINITION

Soit q un réel strictement positif et ^un la suite géométrique définie par u_n=qⁿ.

On peut la représenter par un nuage de points (en vert sur le graphique).

On admet qu'il existe une unique fonction f continue et dérivable sur ℝ qui prolonge ce nuage de points

Définition :

On appelle fonction exponentielle de base q > 0, la fonction définie sur ℝ par fx=q^x

Cas particulier : q⁰=1 II) PROPRIETES

Remarque : si n et p sont des entiers _qⁿ_×q^p_=q^np Propriété (admise) :

Les fonctions exponentielles transforment une somme en produit : fxy=fx×fy

En d'autres termes :

pour tout réel q > 0 et tous les réels x, y on a : _q^xy_=q^x×q^y

Cette relation s'appelle la relation fonctionnelle des fonctions exponentielles.

Remarque : les fonctions exponentielles ne peuvent pas s'annuler car s'il existe un réel x tel que _q^x₌₀ alors pour tout réel y on aurait q^y=q^{xy – x}=q^x×q^{y – x}=0 et donc la fonction serait nulle

Conséquences :

Soit q > 0 et x, y des réels alors : q^{– x}=1

q^x q^{x – y}=q^x

q^y q^x^y= q^x×y q^x0 q^1/2=



^q

Démonstrations :

1) q^x×q^{– x}=q^{x – x}=q⁰=1 donc q^{– x}=1 q^x 2) q^x

q^y=q^x× 1

q^y=q^x×q^{– y}=q^{x – y}

3) q^x=q^2×x/2=q^x/2²  0 or q^x ne peut pas s'annuler donc q^x0

4) q^1/2²=q et 



^q2=q et les deux nombres ont le même carré et ils sont positifs donc ils sont égaux.

Généralisation de la ₅^ième conséquences : _q^1/n =



ⁿq et s'appelle la racine n^ième de q Exercices : ex 43 p 48 ex 36 – 37 – 38 p 48 ex 5 p 41

Variations :

Soit q > 0 et la fonction f définie par fx=q^x Si q = 1 alors f est constante sur ℝ

Si q > 1 alors f est strictement croissante Si 0 < q <1 alors f est strictement décroissante

Ex : 44 p 48

Conséquences :

Pour q > 0 et q ≠1 on a : q^x=q^y ⇔ x = y

Pour q > 1 on a : q^xq^y ⇔ x < y (car x  q^x est croissante) Pour 0 < q < 1 on a : q^xq^y ⇔ x > y (car x  q^x est décroissante)

Ex : 9 p 41 39 – 40 p 48 (equa) ex : 42 p 48 + _0,9^x1_0,9^5x3 (inequ) ex 46 p 48

III) LA FONCTION EXPONENTIELLE ( DE BASE

e

) 1) Définition

Exercice d'introduction : à l'aide de géogébra

- choisir un curseur : le nommer q Intervalle 0;5 increment : 0,01 - Dans la barre de saisie (en bas) taper : f(x)=q^x - Créer le point A ( 0;1) sur la courbe

- Créer la tangente à la courbe en A : cliquer sur tangent, puis sur la courbe puis sur le point A - piloter le curseur q pour que la tangente ait un coefficient directeur 1

On remarque qu'il existe une seule valeur de q pour que la tangente en A ait un coefficient directeur 1 donc pour que le nombre dérivé en 0 soit f '(0) = 1 et le nombre q correspondant est ≃ 2,718.

On nommera

e

ce nombre ( car c'est Euler qui a travaillé sur ce nombre) . C'est un irrationnel.

Définition :

Il existe une seule fonction exponentielle dont le nombre dérivé en 0 soit 1.

On appelle

e

la base de cette fonction exponentielle et e≃ 2,718.

On dit que la fonction exponentielle de base e est '' La fonction exponentielle'' et elle se note Exp : x e^x

2) Propriétés Conséquences :

► Exp'(0) = 1 ► Exp(0) = e⁰ = 1 ►Exp(-1) = e^{– 1}=1

e ► Exp(0,5) = e^0,5=



^e

► e > 1 donc Exp est strictement croissante Pour tous les réels x et y :

► e^x=e^y ⇔ x = y ► e^xe^y ⇔ x < y

► _e^x_×e^y_=e^xy ► 1

e^x=e^{– x} ► e^x

e^y=e^{x – y} ►e^x^y=e^x×y

► _e^x/2₌



^ex

Ex 48 – 49 p 49 ex 50 p 49 ( équa) ex 51 p 49 (inéqu)

Propriété :

La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée.

Ainsi si f(x) = e^x alors f '(x) = e^x (on dit aussi que Exp'(x) = e^x) Démonstration :

soit a un réel quelconque t(h) = fah– fa

h =e^ah– e^a

h =e^a×e^h– e^a

h =e^a×e^h– 1 h or f '(0) = 1 donc la lim

h0

e^h– 1

h =1 donc lim_h0th=e^a donc f '(a) = _e^a 3) Représentation graphique

4) Dérivée de Exp(u(x))

Propriété :

Si u est une fonction dérivable sur un ensemble I alors la fonction f définie par fx=e^ux est dérivable sur I et f 'x=u 'x×e^ux

Exemple : Soit la fonction f définie par fx=e^{x2– 3x}

x x²– 3 x est dérivable sur ℝ donc f est dérivable sur ℝ et f 'x=2 x – 3×e^{x2– 3x} Ex 55 - 56 p 49 (tableau signes avec exp)

Ex 56 p 49 Ex 63 - 64 p 50 (dérivées)

études de fonctions : Ex 52 – 53 – 54 p 49 (+position relative) Ex 59 p 50 Ex 70 p 51