DEVOIR A LA MAISON N°16. TS2.
Pour le mercredi 27 avril 2016.
I. Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Partie A
La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,0002.
1. Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?
2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6 000 heures.
Dans la suite, on considérera que cette probabilité est 0,3.
3. Un client achète d occasion une vanne ayant déjà fonctionné 2 000 heures. Quelle est la probabilité que la durée de vie de cette vanne soit supérieure à 8 000 heures ?
4. L entreprise vend les vannes à ses détaillants par lot de 25. On choisit au hasard un lot de 25 vannes dans la production de l entreprise. Le nombre de vannes est suffisant pour que l on puisse assimiler ce choix à un tirage avec remise.
a. Quelle est la probabilité pour que, parmi ces 25 vannes, au moins 10 aient une durée de vie de plus de 6 000 heures ?
b. Combien peut-on espérer avoir de vannes dont la durée de vie sera supérieure à 6 000 heures dans un lot de 25 vannes ?
Partie B
Avec trois vannes identiques V
1, V
2et V
3, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.
Le circuit est en état de marche si V
1est en état de marche ou si V
2et V
3le sont simultanément.
On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après 6 000 heures.
On note :
• F
1l’événement : « la vanne V
1est en état de marche après 6 000 heures.
• F
2l’événement : « la vanne V
2est en état de marche après 6 000 heures
• F
3l’événement : « la vanne V
3est en état de marche après 6 000 heures.
• E : l’événement : « le circuit est en état de marche après 6 000 heures.
On admet que les événements F
1, F
2et F
3sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.
1. Démontrer que p(E) = 0,363. On pourra construire un arbre.
2. Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V
1soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
II. On considère les fonctions f et g définies sur l intervalle [0 16] par g( x) ln( x 1) et
g( x) ln( x 1) 1 cos( x). Dans un repère du plan, on note C
fet C
gles courbes respectives des fonctions f et g. Ces courbes sont données ci-dessous. Compare les aires des deux surfaces hachurées sur le graphique.
V
1V
2V
3CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°16. TS2
I. Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Partie A
La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,0002.
1. E( T) 1 5000. La durée de vie moyenne d’une vanne est 5 000 heures.
2. P( T 6000) 1 P( T 6000) 1
0
6000
e
xdx = 1
e
x0 6000
1 e 6000 1) e
6000 )e
1,20,301.
La probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6 000 heures est environ 0,301.
Dans la suite, on considérera que cette probabilité est 0,3.
3. P
T 2000( T 8000) P( T 6000) 0,3 car la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
La probabilité que la durée de vie de cette vanne soit supérieure à 8 000 heures est 0,3.
4. On répète 25 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une vanne et à noter si elle a une durée de vie supérieure à 6000 heures ou non. La probabilité que la vanne ait une durée de vie supérieure à 6000 heures est 0,3. La variable aléatoire X correspondant au nombre de vannes ayant une durée de vie supérieure à 6000 heures suit la loi binomiale de paramètres n 25 et p 0,3.
a. P (X 10) 1 P (X 9) 1 0,811 0,189. La probabilité pour que, parmi ces 25 vannes, au moins 10 aient une durée de vie de plus de 6 000 heures est environ 0,189.
b. E (X ) 25 0,3 7,5. On peut espérer avoir en moyenne 7,5 vannes dont la durée de vie sera supérieure à 6 000 heures dans un lot de 25 vannes.
Partie B
E
1. p( E) 0,3 0,7 0,3 0,3 0,363.
2. P
E( ) F
1P ( E F
1)
P( E)
P ( ) F
1P (E )
0,3
0,363 0,826 Sachant que le circuit est en état de marche après
6 000 heures, la probabilité que la vanne V
1soit en état de marche à ce moment là est environ 0,826.
F1
0,3
F1 0,7
F2
0,3
F3 0,3
F3 0,7
F2
0,7 F3
0,3
F3 0,7
E
II. Cherchons les coordonnées de A et B.
f( x) g( x) cos(x ) 1 x 2 k où k est un entier relatif.
Ainsi A a pour abscisse 2 et B a pour abscisse 4 . A(2 l n(2 1)) et B (4 l n(4 1)).
Etudions les positions relatives des courbes C
fet C
g.
f( x) g (x ) cos( x) 1 0 donc C
fest en dessous de C
gsur .
Calculons les aires.
L aire de la première surface est
0
2
g (x ) f (x )dx
0
2pi
1 cos( x )dx
x sin(x )
0 2
2 sin(2 ) 0 sin(0) 2 L aire de la deuxième surface est
2
4
g (x ) f (x )dx
x sin( x)
2 4
