Corrections choisies 05

Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST2

Mathématiques 2019-2020

Corrections choisies 05

Algèbre linéaire.

Correction Ex.–48 Soitn∈N^∗. On se place dans l’espace vectorielC{0,...,n−1} et on considère la base de FOURIER,F = (e_k)k∈{0,...,n−1} oùe_k est le vecteur dont la coordonnée d’indice` este<sup>ik`2πn</sup> . (iciiest le nombre complexe bien connu, pas un indice entier !)

1.Sous réserve queF soit une base, la matrice de passage de la base canonique deC{0,...,n−1}à la baseF est F= (e<sup>ik`2πn</sup> )0≤`,k≤n−1

Cette matrice est symétrique (non réelle ! !). La conjuguée de sa transposée (en fait la transposition est inutile) est

tF= (e<sup>−ik`2πn</sup> )<sub>0≤k,`≤n−1</sub>

Soit 0≤k,k⁰≤n−1 etδ_k,k⁰l’élément en position(k⁰,k)dns la matrice^tF.F. Par la formule génerale du produit matriciel, on a

δ_k,k⁰ =

n−1

`=0

∑

e^−ik`2πn .e^+ik

0`2π

n =

n−1

`=0

∑

e^{i(k0−k)`2πn}

`

On reconnait là la somme dentermes consécutifs d’une suite géométrique et on a donc

δ_k,k⁰=











n sie^{i(k0−k)2πn} =1

1− e^{i(k0−k)2πn}

!n

1−e^i(k0−k)2πn

sie^{i(k0−k)2πn} 6=1

=

(n sik=k⁰ 0 sik6=k⁰

Noter que

e^{i(k0−k)2πn} n

=1. Il faut expliquer pourquoi la conditione^{i(k0−k)2πn} 6=1 équivaut àk6=k⁰lorsque 0≤k,k⁰≤n−1.

On note d’abord que−(n−1)≤k⁰−k≤n−1. La conditione^{i(k0−k)2πn} =1 équivaut au fait qu’il existe un entier relatifatel que^(k0−k)2π_n =a.2π, simplifié, cela signifie que

k⁰−k=a.n

Maintenant fait que−(n−1)≤a.n≤n−1 montre que−1<a<+1. Le seul entier reltif vérifiant cela esta=0 et donck=k⁰. On a donc

tF.F=n.I_n

et doncF est inversible, d’inverseF⁻¹=¹_n.^tF. Cela montre au passage que la familleF est une base et queFest la matrice de passage de la base canonique deCⁿversF.

2.On se donne un vecteura∈C{0,...,n−1}et on considère une matriceAcarrée d’ordren, indicée par{0, . . . ,n−1}×{0, . . . ,n−1}

dont le coefficient à la place(k, `)esta<sub>k−`</sub>lorsquek≥`eta<sub>n+k−`</sub>lorsquek< `.

2.a.Donnons des exemples pourn=3 etn=4.

— Pourn=3 eta=



 a0

a1

a2



, on a

A=





a₀ a₂ a₁ a₁ a₀ a₂ a₂ a₁ a₀





— Pourn=4 eta=







 a₀ a₁ a₂ a₃







 , on a

A=









a₀ a₃ a₂ a₁ a₁ a₀ a₃ a₂ a₂ a₁ a₀ a₃ a₃ a₂ a₁ a₀









On voit que la première colonne est formée du vecteuraet que pour passer d’une colonne à la suivante, on "fait tourner" les coefficients en les décalant vers le bas et en faisant remonter le dernier en première position. D’où, probablement, le nom de

"matrice cyclique".

1

2.b.On considère l’endomorphisme deEdont la matrice par rapport à la base canonique estA. Calculons, pour chaque vecteur e_kle produitA.e_k=: f_k. Le coefficient d’indice`de f_kest

(f_k)_`=

n−1

∑

A`,j(e_k)_j=

n−1

∑

A`,je^{i jk2πn} =

`−1

∑

A`,je^{i jk2πn} +

n−1

∑

j=`+1

A`,je<sup>i jk2πn</sup> +A`,`e<sup>ik`2πn</sup>

On a donc, en utilisant la formule pourA_{`,j</sub>(attn, les noms des indices sont changés par rapport au texte), (f<sub>k</sub>)<sub>`}=

`−1

∑

a`−je^{i jk2πn} +

n−1 j=`+1

∑

an+`−je<sup>i jk2πn</sup> +a<sub>0</sub>.e<sup>ik`2πn</sup>

Dans le première somme, effectuons le changement d’indice j⁰=`−j(on a donc j<sup>0</sup>varie de 1 à`) et dans la deuxième j⁰= n+`−j(on donc j<sup>0</sup>varie den−1 à`+1) pour obtenir

(f_k)_`=

`

∑

j⁰=1

a_j⁰e

i(`−j0)k2π

n +

n−1

∑

j⁰=`+1

a_j⁰e

i(n+`−j0)k2π

n +a0.e^ik`2πn

comme on remarque quee^i(n+`−j

0)k2π

n =e^i(`−j

0)k2π

n , on a alors (on change tous les j⁰en j), puis en factorisante<sup>i`k2πn</sup> , (f<sub>k</sub>)<sub>`</sub>=

n−1

∑

aje

i(`−j)k2π

n =

n−1

∑

aje

−i jk2π n

! .e^i`k2πn

En posantλ_k=∑ⁿ⁻¹_j=0a_je^{−i jk2πn} (noter l’absence de`dans cette expression), on a donc A.e_k=f_k=λk.e_k

La matrice cherchée est donc

D=diag(λ₀, . . . ,λn−1) et l’endomorphisme en question est diagonlisable.

2.c.On a

F⁻¹.A.F=D

i.e. 1

n.^tF.A.F=D

Correction Ex.–49 SoitEunK-ev de dimension finie, muni d’une baseE = (e₁, . . . ,e_n).

1.La matrice d’une forme linéaire relativement aux basesE deEet(1)deKest une matrice ligne. Vu la spécification, la forme linéairee^∗_ka pour matrice (relativement à ces bases)

tE_k= 0 . . . 0 1 0 . . .0

où le seul 1 est à la colonnek.

2.E^∗, l’espace vectoriel des formes linéaires surEest isomorphe à l’espaceM1,n(K)des matrices à coeff. dansKcomportant 1 ligne etncolonnes. A une application linéaire`:E→Kon associe sa matriceL=<sup>(1)</sup>[`]_E relativement aux basesE deEet(1) deK.

L’espaceE^∗est donc de dimensionn, qui est la dimension deE.

Comme(^tE₁, . . . ,^tE_n)est une base deM1,n(K)(cours), par isomorphie,E^∗= (e^∗₁, . . . ,e^∗_n)forme une base deE^∗. Les coordonnées d’une forme linéaire`dans cette baseE^∗sont

E^∗[`] =







`(e₁) ...

`(e_n)







En effet, par définition

(1)[`]<sub>E</sub> = `(e₁) . . . `(e_n) et donc

(1)[`]_E =

n k=1

∑

`(e_k).^tE_k=

n k=1

∑

`(e_k).⁽¹⁾[e^∗_k]_E =

(1)"

n k=1

∑

`(e_k).e^∗_k

#

E

ce qui est bien

`=

n

∑

k=1

`(e<sub>k</sub>).e<sup>∗</sup><sub>k</sub>et<sup>E∗</sup>[`] =







`(e₁) ...

`(e_n)







2

3.Soitφ:E→Eun endomorphisme deEde matriceMdans la baseE. On considère φ^∗:E^∗→E^∗, `7→(x∈E7→`(φ(x)))

La matrice deφ^∗relativement à la baseE^∗est une matricen×n. Pour cette matriceN deφ^∗, on applique la définition. Soit k∈ {1, . . . ,n},N_kla colonnekdeNcomporte les coordonnées deφ^∗(e^∗_k)sur la baseE^∗.

On a

φ^∗(e^∗_k) = (x∈E7→e^∗_k(φ(x)))

et la colonne de coordonnées de cette forme linéaire dans la baseE^∗est

N_k=







[φ^∗(e^∗_k)](e₁) ... [φ^∗(e^∗_k)](e_n)





=







e^∗_k(φ(e₁)) ... e^∗_k(φ(e_n))







Or pourx∈E,e^∗_k(φ(x))est la coordonnée d’indicekdans la baseE du vecteurφ(x)et donc pour`∈ {1, . . . ,n},e<sup>∗</sup><sub>k</sub>(φ(e<sub>`</sub>))est la coordonnée d’indicekde l’image deφ(e_`). Par définition de la matriceMdeφrelativement à la baseE,

e_k(φ(e_{`</sub>)) =M<sub>k,`}

On vient donc de montrer queN`,k=Mk,`et donc que

N=^tM

3