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Chapitre 03 :
DISTANCES ET MÉDIATRICES
I) Distances :
1) Définition : Distance entre deux points :
La distance entre deux points est longueur du plus court chemin qui joint ces deux points.
Exemple :
La distance la plus courte entre deux centres-villes est la distance à vol d’oiseau.
Sur la carte ci-contre, la distance à vol d’oiseau entre le village de Gerstheim et celui d’Obenheim est d’environ 2,3 km.
Exercice :
Tracer un segment [AB] de longueur 8 cm.
Remarque :
L’unité de longueur internationale est le mètre.
On utilise aussi les multiples et sous-multiples du mètre :
km hm dam m dm cm mm
1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
2) Définition : Distance d’un point à une droite :
La distance d’un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point à un point de la droite.
Exemple :
Sur le dessin ci-contre, AH est la distance du point A à la droite (d).
En effet, pour tout point M de (d), on a : 𝐴𝐻 ≤ 𝐴𝑀.
Exercice :
Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit d’abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents.
Représenter sur le schéma ci-contre, le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins possible sur le sable rendu brûlant par les rayons du Soleil.
(d)
http://mathsreibel.free.fr 2 3) Propriété :
La distance d’un point à une droite est la distance séparant ce point du pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Exemple :
Dans l’exemple précédent, la distance du point A à la droite (d) est la distance séparant A à H car H est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant A.
4) Méthode :
Pour mesurer la distance entre un point et une droite, on procède en deux étapes : 1. On trace la perpendiculaire à la droite passant par le point.
2. On mesure la longueur du segment qui joint le point à la droite.
Exemple :
Figure de départ
On trace la droite perpendiculaire à (d)
passant par le point A. On mesure la longueur AH où H est le pied de la perpendiculaire à (d).
5) Définition : Distance entre deux ensembles : (Hors programme : Niveau L3 – Licence de Maths) Soit 𝐸
1et 𝐸
2deux parties non vides d’un espace métrique 𝐸 muni d’une distance d.
On définit la distance entre ces deux ensembles comme : 𝑑(𝐸
1, 𝐸
2) = inf{ 𝑑(𝑥, 𝑦) | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸
1× 𝐸
2}.
C’est un réel positif, comme borne inférieure d’un ensemble non vide de réels positifs.
Exemple 1 :
Dans l’exemple ci-dessus,
𝑑(𝐸
1, 𝐸
2) = DE.
Exemple 2 :
Dans l’exemple ci-dessus,
𝑑(𝐸
1, 𝐸
2) = DE = CB = FG.
(d) (d)
(d)
𝐸1
𝐸1 𝐸2
𝐸2
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II) Cercle :
1) Définition : Cercle :
Un cercle de centre O est une figure constituée de TOUS les points situés à la même distance du point O.
Cette distance s’appelle le rayon du cercle.
Exemple :
(c) est un cercle de centre O et de rayon 𝒓 = 2 cm.
M est un point de (c).
OM est un rayon de (c).
B est un point situé à 2 cm de O, il appartient donc au cercle de centre O et de rayon 𝒓.
Exercice :
1. A l’aide du compas,
2. tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
3. Placer un point O’ à 5 cm du point O.
4. Tracer un cercle de centre O’ et de rayon 3 cm.
5. Placer les points A et B à l’intersection des deux cerclces.
6. Quelle est la nature du quadrilatère OAO’B, justifier la réponse.
2) Définition : Corde :
Une corde d’un cercle est un segment dont les extrémités appartiennent à ce cercle.
Un diamètre d’un cercle est une corde passant par le centre de ce cercle.
Exemple :
[AB] est une corde (c).
[CD] est un diamètre de (c).
On dit que les points C et D sont diamétralement opposés.
Exercice :
1. tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
2. Placer un point A et un point B sur le cercle de sorte à ce que le segment [AB]
soit un diamètre de ce cercle.
3. Placer un point C sur le cercle.
4. Placer le point D diamétralement opposé au point C.
5. Quelle semble être la nature du quadrilatère ACBD.
3) Propriété : Relation entre diamètre et rayon :
Si [CD] est un diamètre d’un cercle de rayon 𝑟, alors CD = 2 × 𝑟.
Exercice :
Dans la figure ci-contre,
Les points C, O, B sont alignés et les points A, B et C sont sur le cercle
c.
Prouver que BC = 2 × OA.
c
c
𝑟
c
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III) Médiatrice d’un segment :
1) Définition : Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe pas son milieu.
Exemple :
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
En effet, ,a droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et passe par son milieu.
Exercice :
Tracer les médiatrices des segments [AB] et [CD].
2) Propriété :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment,
Alors il est équidistant des extrémités de ce segment (à la même distance des extrémités de ce segment).
Exemple :
Le point M appartient à la médiatrice (d) du segment [AB], donc MA = MB.
Exercice :
1. Tracer un segment [AB] tel que AB = cm.
2. Tracer la médiatrice du segment [AB].
3. Placer un point Z sur la médiatrice du segment [AB].
4. Prouver que le triangle AZB est isocèle en Z.
3) Propriété :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
Exemple :
MA = MB, donc : le point M appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]
Exercice :
1. Tracer un losange ABCD.
2. Prouver que les points B et D sont sur la médiatrice du segment [AC].
3. En déduire que les diagonales d’un losange se coupent
perpendiculairement.
Remarque :
La médiatrice d’un segment [AB] coupe le plan en deux demi-plans :
- l'un contenant A et tous les points qui sont plus proche de A que de B (en bleu) ; - l’autre contenant B et tous les points qui sont plus proches de B que de A (en rose).
