Les nombres complexes

LES NOMBRES COMPLEXES

IN T R O D U C T IO N : A C T IV IT E P R E P A R A T O IR E N ° 1 ( L i v r e d e te r m i n a le S : x m a th s c o lle c t io n In d i c e 2 0 0 6 )

R é s o lu t io n d 'é q u a ti o n s d a n s d i f f é r e n ts e n s e m b le s , i n t r o d u c ti o n d u n o m b r e .i

2

:L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme:

, avec a et b deux réels et 1.

I. Les nombres complexes 1. Définition

2. Propriétés:

: 2 Exemple

L'addition dans est définie par

z= +a ib i = −

^

^

2

: ( ) ( ' ') ( ') ( ')

La multiplication dans est définie par: ( ) ( ' ') ( ' ') ( ' ' ) Le nombre vérifie 1, n'est pas un nombre réel.

Vocabulaire: Le réel s'appelle la

a ib a ib a a i b b

a ib a ib aa bb i ab a b

i i i

a

+ + + = + + +

+ × + = − + +

= −

^

1

partie réelle de et est la partie imaginaire.

Notation: Re( ) , Im( ).

3 :Re( ) 2 , Im( ) 3.

Les propriétés de l'addition et la multiplication dans sont les memes que dans en re z b

a z b z

z i z z

= =

= + = =

^ \ mplaçant ² par 1.

Ainsi, pour tous complexes , ', '', on a:

' ' 0 ' ' ( ' '') ( ') ''

1 '( ' '') ' '' ( ' '') ( ') '' ' ''

ux nombres complexes

i z z z

z z z z z z zz z z z z z z z z

z z z z z zz zz z z z zz z zz z

z De

3. Théorème:

−

+ = + + = = + + = + +

× = + = + = =

Démonstratio :n a i

Réciroque

et ' ' ' sont égaux ssi ' '.

0 ssi 0 0.

0 0 0

si 0 0 alors on a 0.

:Supposons que 0 :si 0, alors on a

a ib z a ib a a et b b

z a ib a et b

b a et b

a et b a ib

a ib b

= + = + = =

= + = = =

+ = ⇔ = =

= = + =

+ = ≠ et le nombre est alors réel et donc 2 1.

Donc 0 d'où 0 0 0 soit 0. .

Soit deux nombres complexes et ' ' ' Si ' ' alors on a '.

Supposons que ' on a alors

i a i i

b

b a ib a i a CQFD

z a ib z a ib

a a et b b z z

z z

= − ≠ −

= + = ⇔ + = =

= + = +

= = =

= ' ' ( ') ( ') 0 ' 0 ' 0

d'où d'après ce qui précède ' '.

Exemple: 2 3 , ' 1 .Calculer: ', ', ', 2 '....

Remarques: Un nombre complexe est réel si sa partie imaginaire

a ib a ib a a i b b a a et b b

a a et b b

z i z i z z zz z z z z

+ = + ⇔ − + − = ⇔ − = − =

= =

= − = + + − −

est nulle.

Un nombre complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

L'ensemble contient l'ensemble .

Il n'y a pas d'ordre dans : on ne peut pas comparer deux nombres complexes....

•

•

^ \

^

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( ; ; ) est appelé plan complexe.

soit

4. Représentation géométrique des nombres complexes

a. Affixe d'un point: A

deux nombres réels.

tout point M d

o u v a et b

G G

u plan de coordonnées ( , ) on associe le nombre complexe . Le point ( , ) est appelé image du nombre complexe .

Le nombre complexe est appelé affixe du point .

a b z a ib

M a b z a ib

z a ib M

= +

= +

= +

A

b. Affixe d'un vecteur: tout vecteur ( , ) on associe le nombre complexe . est appelé vecteur image de et est l'affixe du vecteur OM.

Notation: L'affixe d'un point M est

OM a b z a ib

OM z z

JJJJG = +

JJJJG JJJJG

noté : ( ) ou z .M

L'affixe du vecteur OM est noté : .

Application: Soit A et B d'affixes respectives et .Déterminer l'affixe du vecteur AB.

Le vecteur a pou

OM

A B

z M z

z z

AB

JJJJG

JJJJG

JJJG JJJG

r coordonnées; ( ; ) d'où l'affixe de :

( ) ( ) ( ) ( )

L'écriture est appelee Forme algébrique du nombre complexe . Cette écriture

B A B A

B A B A B B A A B A

AB

x x y y AB

z x x i y y x i y x iy z z

z a ib z

− −

= − + − = + − + = −

= +

JJJG

JJJG

est unique.

c. Définition:

Conjugué d'un nombre complexe

Le nombre complexe conjugué de est le nombre complexe n II. Opérations dans l'ensemble

1. Définition:

^

oté .

Exemple: 1 , 1 . 3 5 , 3 5 ....

Interprétati

z a ib z a ib

z i z i z i z i

= + = −

= + = − = − = +

on du nombre conjugué:Les images de et sont symétriques par rapport à l'axe des réels.z z

2 2

Remarque:

Un nombre complexe est réel ssi .

Pour tout nombre complexe , est un nombre ré 2. Théorème: Pour t

el .

En effet on a ; ( ) ( ) .

out nombres complexes et ', on a

z z z

z a ib zz

zz a ib a ib a b

z z

=

= +

= + × − = +

( ) ( ) ( ) ^{( )}

:

1 1

' ' ' ' ( ' 0), .

' '

est un nombre réel ssi . est imaginaire pur ssi .

faire en exercice: On pose , ' ' '.

Pour démontrer la

n n z z

z z z z zz z z z z z z z

z z z z

z z z

z z z

z a ib z a ib

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = × − = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠= ≠ ⎜ ⎟⎝ ⎠=

=

= −

= + = +

( )

Démonstration: A

( )

propriété: zⁿ = z ⁿ, on utilise un raisonnement par récurrence.

2 2

Soit un nombre complexe non nule de forme algébrique: . 3. Inverse d'un nombre complexe non nul

4. Quotient de deux nombres complexes:

1 1

Soit et ' deux nombres comple es x :

z z a ib

a ib

z a ib a b

z z z a ib

= +

= = −

+ +

= +

2 2

4 4 1 4 2 4 3

2

et ' ' ' avec ' non nul

1 ( )( ' ')

( ) .

' ' ' ' ' ' '

Pour tout entier naturel on a:

1 ; ; 1 ; .

1 .

n n n n

z a ib z

z a ib a ib a ib

z a ib a ib a ib a b

n

i i i i i i

i i i i

+ + +

= +

+ + −

= = + × =

+ + +

= = = − = −

= −

5. Puissance du nombre complexe i

2

Ecrire sous forme algébriques les nombres complexes suivants:

1 2 3 1

2 3 (5 2 ); (1 2 ) ; (2 )(3 3 ); ; ; .

1 1 2 1

Déterminer le conjugué des nombres complexes:

2; 1 ; 3

Exercices d'applications:

2 ; 5

i i

i i i i i

i i i

i i i

− + −

+ − + + − +

− − +

− − − − 3

; .

2 5

Déterminer le lieu des points M d'affixe telle que -1 soit réel, soit imaginair pur.

- Résoudre dans les équations d'inconue :

3 2 (3 1)

2 3

2 3

3 2 2 3 .

i i

z z

z i z

iz z i i z

iz z i

z i z

z iz i

−

− +

− = + + +

− = + + =

− = −

^

III. Module, argument et forme trigonométrique d'un complexe non nul On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O, , ).

1. Définition : Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z = a + ib , avec a et b réels, est le nombre réel positif défini par :

a²+b² Le module de z est noté |z|.

Géométriquement, le module de z est la distance entre l'origine du repère et le point M(z) : z = OMJJJG Propriétés :

Pour tous complexes z et z' de , on a les propriétés suivantes :

2 ;

' '

z z z z z z

zz z z

= × = − =

=

|z|² =

|z| = |-z| = | |

|zz'| = |z| |z'|

|zⁿ| = |z|ⁿ

|z + z'| < |z| + |z'|

Démonstration : on pose : z= +x iy, pour |zⁿ| = |z|ⁿ on fait un raisonnement par récurrence.

2. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe

Définition

Pour tout nombre complexe non nul z d'image M, on appelle argument de z l'angle ( , ).

On note arg(z) l'argument de z : arg(z) = ( , ) Exemple :

Le nombre complexe 1+i a pour argument 4 π Théorème

Pour tout couple de réels (r, ) , il existe un unique nombre complexe z tel que |z| = r et arg(z) = . z peut alors s'écrire sous la forme : ^{z=r(cosθ +isin )θ = ×z ⎡}_⎣^{cos arg}

( ( )

)

( ( )

)

Lien avec la partie réelle et la partie imaginaire :

( )

Tout nombre complexe non nul d'argument , s'écrit sous la forme:

cos sin

on en déduit : cos et sin cos et sin

z

z x iy r i

x y

x r y r

r r

θ

θ θ

θ θ θ θ

= + = +

= = ⇔ = =

Définition

Soit z un nombre complexe : est la de .

(cos sin ) est

forme algébrique

la forme trigonométriquede z.

z x iy z

z r θ i θ

= +

= +

Propriétés :

Pour tous nombres complexes z et z' non nuls, on a : a) arg( ') arg( ) arg( ') (2 )

b) arg 1 arg( ) (2 ) pour tout nombre complexe 0

c) arg arg( ) arg( ') (2 ) '

d) arg( ) arg( ) (2 ) d) arg( ) arg( ) (2 )

zz z z

z z

z

z z z

z

z z

z z

π π

π

π π

π

= +

⎛ ⎞ = − ≠

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

− = +

= − Démonstration :

( )

a) Soit deux nombre complexes et ' de formes trigonométriques respectives:

(cos sin ) ; ' '(cos ' sin ')

Effectuons le produit:

' (cos sin ) '(cos ' sin ') ' cos cos ' sin sin ' cos s

z z

z r i z r i

z z r i r i

rr i

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

= + = +

× = + × +

= − +

( )

[ ]

in ' sin cos ' Or pour tout réels et ' , on a cos( ') cos cos ' sin sin '

et sin( ') cos sin ' sin cos '

Donc: ' ' cos( ') sin( ')

On en déduit que le module de ' est : ' ',

zz rr i

zz zz rr

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+

⎡ ⎤

⎣ ⎦

+ = −

+ = +

= + + +

= et argument de 'est: arg( ') '(2 ).

Donc on a: ' ' , et arg( ') arg( ) arg( ') (2 ) .

zz zz

zz z z z z z z

θ θ π π

= +

= × × = +

b) En utilisant l'égalité: 1 1, on a:

1 1 1

arg arg(1) (2 ) arg( ) arg 0 (2 ) d'où:arg arg( ) (2 )

Le même raisonnement appliqué à : 1 , permet de démontrer la propriété (

' '

z z

z z

z z z

z z

z z

π π

× =

⎛ × ⎞= ⇔ + ⎛ ⎞= ⎛ ⎞= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= × c)

z π