CHAPITRE 8

CHAPITRE 8

ARITHMÉTIQUE

I Divisibilité dansZ. . . . 3

I.1 Rappels et compléments . . . 3

I.2 Diviseurs et multiples. . . 3

I.3 Division euclidienne. . . 5

II Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple . . . . 8

II.1 Plus grand commun diviseur . . . 8

II.2 Algorithme d’Euclide . . . 8

II.3 Entiers premiers entre eux. . . 12

II.4 Plus petit commun multiple . . . 13

III Nombres premiers. . . . 17

III.1 Définition . . . 17

III.2 Crible d’Ératosthène . . . 19

III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . 20

Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

c) Ensembles de nombres usuels

Entiers naturels, entiers relatifs, divisibilité dansZ, diviseurs, mul- tiples.

Théorème de la division euclidienne.

PGCD de deux entiers relatifs dont l’un au moins est non nul. Le PGCD deaetbest défini comme étant le plus grand élément (pour l’ordre naturel dansZ) de l’ensemble des diviseurs communs à aetb.

PPCM.

Algorithme d’Euclide.

Nombre premier.

L’ensemble des nombres premiers est infini.

Existence et unicité de la décomposition d’un entier naturel non nul en produit de nombres premiers.

La démonstration est hors programme.

Application au calcul du PGCD et du PPCM.

Nombres décimaux, rationnels, réels, irrationnels. La construction des ensembles de nombres usuels, en particulier celle deR, est hors programme.

ARITHMÉTIQU I. DIVISIBILITÉ DANSZ

I. Divisibilité dans Z

I.1. Rappels et compléments

Notation 8.1 – Ensembles usuels de nombres On note :

N l’ensemble des entiers naturels : N = ©

0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ª . Z l’ensemble des entiers relatifs : Z = ©

. . . , − 2, − 1, 0, 1, 2, . . . ª . On admet le résultat suivant.

Théorème 8.1

1. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

2. Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

3. N n’est pas majoré.

4. Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément.

5. Toute partie non vide et minorée de Z admet un plus petit élément.

I.2. Diviseurs et multiples

Définition 8.1 – Diviseur, multiple Soient a et b deux entiers relatifs.

Ï On dit que a divise b s’il existe k ∈ Z ^{tel que b} = a × k. On note alors a | b.

Ï Lorsque a divise b, on dit aussi que a est un diviseur b ou que b est un multiple de a

1. L’ensemble des diviseurs de 18 est ©

− 18, − 9, − 6, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18 ª . 2. L’ensemble des diviseurs de 0 est Z ^.

3. Pour tout n ∈ Z ^{, 2 divise n} × (n + 1).

Exemple 8.1

Soit a ∈ Z

^.

1. Les entiers 1 et a sont toujours des diviseurs de a.

2. Soit d ∈ Z ^{tel que d} | a.

Alors a = d × k avec k ∈ Z ^{. De plus, a} , ^{0, donc k} , ^{0. D’où,} | k | Ê 1, donc | a | Ê | d | . D’où, − | a | É d É | a | . Les diviseurs de a sont donc compris entre − a et a. En particulier, a possède un nombre fini de diviseurs.

En outre, le seul entier naturel qui possède une infinité de diviseur est 0.

3. L’ensemble des diviseurs de a est égal à l’ensemble des diviseurs de − a et | a | .

En particulier, a divise b si, et seulement si, | a | divise b si, et seulement si, | a | divise | b | si, et seulement si, a divise | b | .

Remarque 8.1

I. DIVISIBILITÉ DANSZ ^ARITHMÉTIQU

Proposition 8.1 – Transitivité Soient (a, b, c) ∈ Z

^.

Si a | b et b | c alors a | c.

Démonstration

Par définition, il existek₁etk₂des entiers relatifs tels queb=a×k₁etc=b×k₂. D’où,c=a×k₁×k₂.

En notantk=k₁×k₂∈Z^{, on ac}=a×k.

Donc,adivisec.

Proposition 8.2 Soient (a, b, c, d) ∈ Z

^.

1. Si a | b et a | c, alors, pour tout (u, v) ∈ Z

^{, a} | (u × b + v × c).

2. Si (a × b) | c, alors a | c et b | c. La réciproque est fausse 3. Si a | b et c | d, alors (a × c) | (b × d).

4. Soit n ∈ Z

. On a l’équivalence : a | b si, et seulement si, (a × n) | (b × n).

Démonstration

1. Supposons quea|beta|c.

Il existek₁etk₂des entiers tels queb=a×k₁etc=a×k₂. Donc,u×b+v×c=a×(u×k₁+v×k₂).

D’où, en notantk=u×k₁+v×k₂∈Z^{, on a :b}+c=a×k.

2. Supposons que (a×b)|c.

Il existek₁∈Z^{tel quec}=a×b×k₁.

D’où, en notantk=k₁×b∈Z^etk0=k₁×a∈Z^{, on a :c}=k×aetc=k×b.

Pour un contre exemple, on peut considérer :a=b=c=2.

3. Supposons quea|betc|d.

Il existek₁etk₂des entiers tels queb=a×k₁etd=c×k₂. Donc,b×d=a×c×k₁×k₂.

D’où, en notantk=k₁×k₂∈Z^{, on a :b}×d=a×c×k.

4. Soitk∈Z^{. Commen}est non nul, on a l’équivalence :b=a×ksi, et seulement si,b×n=a×n×k.

Si a | b, alors, pour tout k ∈ N

^{, a}

| b

. Remarque 8.2

Exercice 8.1

Donner des exemples d’entiers a, b et c tels que a | (b × c) et a ne divise ni b ni c.

Résolution

Considérer :a=8,b=4 etc=2.

Ï Montrons que, pour tout entier naturel n impair, 8 divise n

− 1.

Soit n ∈ N impair. On peut écrire n = 2 k + 1 avec k ∈ N ^. D’où, n

− 1 = (2k + 1)

− 1 = 4 k × (k + 1).

Exemple 8.2

ARITHMÉTIQU I. DIVISIBILITÉ DANSZ

Or, k × (k + 1) = 2

k

X

i=0

i

|{z}

∈N

est un entier pair. Donc, 2 divise k × (k + 1).

D’où, 4 × 2 divise 4 k × (k + 1).

Donc, 8 divise n

− 1.

Ï Soit n ∈ N . Montrons que n

divise (n + 1)

− 1. Par la formule du binôme de Newton,

(n + 1)

− 1 = Ã

X

k=0

à n k

! n

!

− 1 =

n

X

k=1

à n k

! n

.

Soit k ∈ ‚ 2,n ƒ . On a : à n

k

!

n

= n

× Ã n

k

! n

| {z }

∈N

. Donc, n

divise à n

k

! n

.

De plus, pour k = 1, on a : Ã n

k

! n

=

à n 1

!

n = n

. Donc, n

divise à n

k

! n

. D’où, n

divise chaque terme de la somme

n

X

k=1

à n k

!

n

. Donc, n

divise la somme.

Ainsi, n

divise (n + 1)

− 1.

Proposition 8.3 Soient (a, b) ∈ Z

^.

£ a | b et b | a ¤

⇐⇒ £

a = b ou a = − b ¤ . Démonstration

(⇒) Supposons quea|betb|a.

Par définition, il existek₁etk₂des entiers relatifs tels queb=a×k₁eta=b×k₂. Donc,a=a×k₁×k₂.

Il y a deux cas.

Ï Cas 1 :a=0. D’où,b=a×k₁=0. Donc,a=b.

Ï Cas 2 :a,^{0. D’où,k}1×k₂=1. Or,k₁etk₂sont des entiers, donck₁=k₂=1 ouk₁=k₂= −1. Donc,a=boua= −b.

Dans les deux casa=boua= −b.

(⇐) Sia=b, alorsa=1×betb=1×a, donca|betb|a. On raisonne de la même manière sia= −b.

I.3. Division euclidienne

Théorème 8.2 – Division euclidienne

Soient a ∈ Z ^{et b} ∈ N

. Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que : a = b × q + r et 0 É r < b .

L’entier q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b et l’entier r est appelé le reste de la division euclidienne de a par b

Démonstration

Existence. Il y a deux cas : Ï Cas 1 :aÊ0.

On noteA=©

k∈N|a−b×kÊ0ª .

• Aest une partie deN^.

• On aaÊ0, donc 0∈A. D’où,Aest non vide.

I. DIVISIBILITÉ DANSZ ^ARITHMÉTIQU

• Soitk∈A. On a alorsb×kÉa. Or, 1Éb, donc, en multipliant parkÊ0, on a :kÉa. Donc,Aest majoré para.

On en déduit queApossède un plus grand élément notéq.

Par définition, on aq+1∉A. D’où,b×qÉa<b×(q+1).

Donc, en notantr=a−b×q, on a 0Ér<beta=b×q+r.

On a montré l’existence du couple (q,r).

Ï Cas 2 :a<0.

On applique le cas 1 avecaremplacé par−a.

Il existe (q,r)∈Z^{2tel que}−a=b×q+ravec 0Ér<b.

D’où,a=b×(−q)−r. Il y a une nouvelle disjonction de cas.

• Sir=0, alors c’est terminé et le couple (−q, 0) convient.

• sir,^{0, on aa}=b×(−q−1)+(b−r).

Or, 0<r<b, d’où 0<b−r<b.

Donc, le couple (−q−1,b−r) convient.

Unicité. On suppose qu’il existe (q₁,r₁) un couple d’entiers tels quea=b×q₁+r₁et 0Ér₁<b.

On a alorsr−r₁=a−b×q−(a−b×q₁)=b×(q−q₁) et−b<r−r₁<b.

D’où,|b×(q−q₁)| = |r−r₁| <b. Donc, commeb>0, on a :|q−q₁| <1.

Or,q−q₁∈Z^{. Donc,q}−q₁=0, puisr=r₁.

1. Comme on travaille avec des entiers, la condition 0 É r < b est équivalente à 0 É r É b − 1.

2. On a q = a b − r

b . Or, 0 É r b < 1.

Donc, a

b − 1 < q É a

b . Autrement dit, q É a

b < q + 1.

Donc,

q = j a b

k . 3. On a a ≡ r[b].

Remarque 8.3

Corollaire 8.1 – Division euclidienne

Soient a ∈ Z ^{et b} ∈ Z

. Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que : a = b × q + r et 0 É r < | b | .

L’entier q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b et l’entier r est appelé le reste de la division euclidienne de a par b

Démonstration

Existence. Il y a 2 cas

• Cas 1 :b>0. Il s’agit du théorème précédent.

• Cas 2 :b<0. On applique le théorème précédent avecbremplacé par−b>0.

Il existe (q,r)∈Z^{2tel quea}=(−b)×q+ret 0Ér< −b.

D’où,a=b×(−q)+ret 0Ér< |b|. Donc, le couple (−q,r) convient.

Unicité. On suppose qu’il existe (q₁,r₁) un couple d’entiers tels quea=b×q₁+r₁et 0Ér₁< |b|.

On a alorsr−r₁=a−b×q−(a−b×q₁)=b×(q−q₁) et− |b| <r−r₁< |b|.

D’où,|b×(q−q₁)| = |r−r₁| < |b|. Donc, comme|b| >0, on a :|q−q₁| <1.

Or,q−q₁∈Z^{. Donc,q}−q₁=0, puisr=r₁.

On a a ≡ r[b].

Remarque 8.4

ARITHMÉTIQU I. DIVISIBILITÉ DANSZ

Théorème 8.3

Soient (a, b) ∈ Z × Z

^{. L’entier b divise a} si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Démonstration

(⇒) On suppose quebdivisea.

Alors, il existek∈Z^{tel quea}=b×k. Le couple (q,r)=(k, 0) vérifie donc,a=b×q+ret 0Ér< |b|.

Par unicité du reste et du quotient de la division euclidienne, le reste de la division euclidienne deaparbest nul.

(⇐) On suppose que le reste de la division euclidienne deaparbest nul.

On a alors,a=b×qoùq∈Z^{. Donc,bdivisea.}

Exercice 8.2

Trouver les entiers relatifs dont le reste et le quotient sont égaux dans la division euclidienne par 5.

Résolution

SoitN∈Z. La division euclidienne deNpar 5 s’écrit :N=5q+ravecr∈{0, 1, 2, 3, 4}.

Analyse.On suppose que le reste et le quotient deNdans la divisions euclidienne par 5 sont égaux.

On aq=r, donc,N=6r. Or,r∈{0, 1, 2, 3, 4}. Donc,N∈©

0, 6, 12, 18, 24ª . Synthèse.Les entiers 0, 6, 12,18 et 24 conviennent (je vous laisse le vérifier).

L’ensemble des solutions est©

0, 6, 12, 18, 24ª .

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE ARITHMÉTIQU

II. Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

II.1. Plus grand commun diviseur

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est une partie de Z non vide (il contient 1) et majorée (par | a | ou | b | ).

Cet ensemble possède donc un plus grand élément, ce qui justifie la définition suivante.

Remarque 8.5

Définition 8.2 – PGCD Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , ^{(0, 0).}

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et de b est le plus grand élément de l’ensemble des entiers qui divisent à la fois a et b.

Autrement dit, le PGCD de a et b est l’unique entier naturel d vérifiant :

• d | a et d | b (d est un diviseur commun à a et b),

• d est le plus grand entier vérifiant le point précédent.

On note d = a ∧ b ou d = PGCD(a, b).

Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , ^{(0, 0).}

1. L’hypothèse (a, b) , (0, 0) signifie que a ou b est non nul.

2. Le PGCD est un entier positif.

3. Cas particulier : si a divise b alors a ∧ b = a.

4. Cas particulier : si a = 0 et b , ^{0, alors a} ∧ b = b et, si a , ^{0 et b} = 0, alors a ∧ b = a.

5. On a a ∧ b = b ∧ a et, comme a (resp. b) et | a | (resp. | b | ) ont les mêmes diviseurs, a ∧ b = | a | ∧ | b | . 6. Par convention, on pose 0 ∧ 0 = 0.

Remarque 8.6

Le plus grand commun diviseurs de 6 et 15 est 3. En effet, l’ensemble des diviseurs de 6 est ©

− 6, − 3, − 2, 1, 1, 2, 3, 6 ª et l’ensemble des diviseurs de 15 est ©

− 15, − 5, − 3, − 1, 1, 3, 5, 15 ª . Exemple 8.3

II.2. Algorithme d’Euclide

Proposition 8.4

Soient (a, b) ∈ Z × Z

^{. On note r} le reste de la division euclidienne de a par b. On a :

Ï L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à l’ensemble des diviseurs communs à b et r.

Ï En particulier,

a ∧ b = b ∧ r.

ARITHMÉTIQU II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

Démonstration

On écrit la division euclidienne deaparb:a=b×q+roùq∈Z^.

ÏOn noteEl’ensemble des diviseurs communs àaetb; etFl’ensemble des diviseurs communs àbetr (⊂) Soitn∈E. On a alorsn|aetn|b.

Donc,ndiviser=a−b×q.

Donc,n∈F. Ceci est vrai pour toutn∈E, doncE⊂F.

(⊃) Soitn∈F. On a alorsn|betn|r.

Donc,ndivisea=b×q+r.

Donc,n∈E. Ceci est vrai pour toutn∈F, doncF⊂E.

AinsiE=F.

ÏPar définition,a∧best le plus grand élément deE, etb∧rest le plus grand élément deF.

CommeE=F, on a :a∧b=b∧r.

Théorème 8.4 – Algorithme d’Euclide Soit (a, b) ∈ N × N ^{avec (a, b)} , ^{(0, 0).}

On définit une suite (r

)

par récurrence : Ï r

= a et r

= b ;

Ï pour tout k ∈ N

^,

• si r

, 0, on réalise la division euclidienne de r

par r

r

= r

× q + r.

On pose alors r

= r (r

est le reste dans la division euclidienne de r

par r

).

• si r

= 0, on pose r

= r

.

Alors, la suite (r

)

est nulle à partir d’un rang et la dernière valeur non nulle de (r

)

est le PGCD de a et de b.

Démonstration

ÏMontrons que la suite (r_k) s’annule. Par l’absurde, on suppose que, pour toutk∈N^,rk,^0.

Dans ce cas, pour toutk∈N^?,rk∈N^?etr_k+1<r_k(en effet,r_k+1est le reste dans la division euclidienne der_k−1parr_k).

La suite (r_k) est donc une suite d’entiers naturels non nuls strictement décroissante. Contradiction.

On en déduit que la suite (r_k) s’annule. Il existeN∈N^{tel quer}N,^{0 etr}N+1=0.

Par définition de la suite (r_k), pour toutkÊN+1,r_k=0.

ÏDe plus, par la proposition précédente,a∧b=r₀∧r₁=r₁∧r₂= · · · =r_N∧r_N+1=r_N∧0=r_N.Pour le montrer plus proprement,

c’est-à-dire, sans les « ... », on rédige une récurrence.

Déterminons le PGCD de 650 et 275. On effectue les divisions euclidiennes successives : 650 = 2 × 275 + 100

275 = 2 × 100 + 75 100 = 1 × 75 + 25 75 = 3 × 25 + 0.

Donc, 650 ∧ 275 = 25.

Exemple 8.4

Ï L’algorithme d’Euclide donné dans le théorème précédent permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels.

Lorsque (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , (0, 0), on se ramène à des entiers naturels. En effet, a ∧ b = | a | ∧ | b | .

Remarque 8.7 – Algorithme d’Euclide

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE ARITHMÉTIQU

Ï On suppose dans l’algorithme suivant qu’il existe une fonction donnant le reste de la division euclidienne.

Algorithme 1 : Algorithme d’Euclide Données : a ∈ Z ^{et b} ∈ Z des entiers Sorties : A le PGCD de a et b.

Traitement :

1

A ← | a | ;

2

B ← | b | ;

3

tant que B > 0 faire

4

R ← reste de la division euclidienne de A par B;

5

A ← B;

6

B ← R ;

Renvoyer : A

Ï En Python, l’affectation simultanée permet de se passer la variable R.

Python – Division euclidienne

1

def euclide(a,b):

2

'''

3

Entrée : a et b des entiers

4

Sortie : PGCD de a et b

5

'''

6

A, B = abs(a), abs(b)

7

while B>0:

8

A, B = B, A%B

9

return A

Ï B est un entier naturel et le reste de la division euclidienne de A par B est strictement inférieur à B. Donc, B décroît strictement à chaque itération. L’algorithme se termine.

Ï Un invariant de boucle est : a ∧ b = A ∧ B.

• Avant d’entrer dans la boucle A = a et B = b. Donc, a ∧ b = A ∧ B.

• On suppose qu’avant une itération a ∧ b = A ∧ B.

On note A

et B

les nouvelles valeurs stockées dans A et B après l’itération. On a : A

= B et B

= A%B où A%B est le reste dans la division euclidienne de A par B.

Par la proposition précédente, on a : A

∧ B

= B ∧ (A%B) = A ∧ B = a ∧ b.

• En sortie de boucle, on a B = 0. Donc, a ∧ b = A ∧ B = A ∧ 0 = A.

L’algorithme renvoie bien le PGCD de a et b.

Soit (a, b) ∈ Z × Z . Il existe (u, v) ∈ Z

^{tel que :}

a × u + b × v = a ∧ b.

Remarque 8.8 – Théorème de Bezout (Hors-programme)

Théorème 8.5 – Caractérisation du PGCD

Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , (0, 0). On note d le PGCD de a et b.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de d.

Autrement dit : pour tout n ∈ Z ^,

£ n | a et n | b ¤

⇐⇒ n | d. ( ? )

De plus, le PGCD de a et de b est le seul entier naturel à vérifier ( ? ).

ARITHMÉTIQU II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

Démonstration

On sait qued= |a| ∧ |b|eta(resp.b) et|a|(resp.|b|) ont les mêmes diviseurs, donc, dans la suite on suppose que (a,b)∈N^2sans perdre de généralité.

On considère la suite (r_k)_k∈Ndéfinie dans l’algorithme d’Euclide. On noteNl’indice vérifiantr_N,^{0 etr}N+1=0.

On sait alors que

• r_N=d,

• pour toutk∈ ‚1,Nƒ, l’ensemble des diviseurs communs àr_k−1etr_kest égal à l’ensemble des diviseurs communs àr_ketr_k+1. En particulier, l’ensemble des diviseurs commune àr₀=aetr₁=best égal à l’ensemble des diviseurs communes àr_N=detr_N+1=0.

Or, l’ensemble des diviseurs de 0 estZ. Donc, l’ensemble des diviseurs communs àaetbest l’ensemble des diviseurs ded.

ÏSoitn∈N, on a donc :

n|aetn|b ⇐⇒ nest un diviseur commun àaetb

⇐⇒ nest un diviseur ded

⇐⇒ n|d.

ÏSoitd₁∈Nun entier naturel vérifiant (?).

Par définition ded, on ad|aetd|b. Donc, commed₁vérifie (?),d|d1. On ad₁|d₁, donc, par (?),d₁|aetd₁|b. Donc, commedvérifie (?),d₁|d.

D’où,d|d₁etd₁|d. Donc,d=d₁oud= −d₁.

Or,detd₁sont positifs, donc,d=d₁.

L’implication réciproque de ( ? ) est claire. L’implication directe signifie : si n divise a et b, alors n divise leur PGCD.

Remarque 8.9

Méthode 8.1 – Montrer que d = a ∧ b

Pour montrer que d est le PGCD de a et b, il suffit de montrer que : 1. d divise a et b (d est un diviseur commun de a et b) ;

2. Pour tout n ∈ Z ^{, si n} | a et n | b, alors n | d (d est le plus grand diviseur commun).

Exercice 8.3 – À savoir refaire Soit (a, b, c) ∈ Z

^{avec c} , ^0.

1. Montrer que | c | divise (a × c) ∧ (b × c).

2. Montrer que (a × c) ∧ (b × c) = | c | × (a ∧ b) (remarque : lorsque c = 0, cette égalité est encore vraie).

Résolution

1. On a :|c|divise (a×c) et (b×c). Donc, par caractérisation du PGCD,|c|divise (a×c)∧(b×c).

2. Par la question précédente, il existe alorsd∈N^{tel que (a}×c)∧(b×c)= |c| ×d.

ÏPar définition du PGCD, on a|c| ×ddivisea×cetb×c.

Donc,|c| ×ddivisea× |c|etb× |c|.

Donc, commec,^{0, on ad}|aetd|b.

On en déduit queddivisea∧b.

D’où,|c| ×ddivise|c| ×(a∧b).

ÏD’autre part,a∧bdiviseaetb, donc,|c| ×(a∧b) divise|c| ×aet|c| ×b.

Donc,|c| ×(a∧b) divise (a×c)∧(b×c)= |c| ×d.

ÏOn en déduit que|c| ×(a∧b)=(a×c)∧(b×c) ou|c| ×(a∧b)= −(a×c)∧(b×c).

Comme les PGCD sont positifs et|c| Ê0,

|c| ×(a∧b)=(a×c)∧(b×c).

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE ARITHMÉTIQU

II.3. Entiers premiers entre eux

Définition 8.3 – Entiers premiers entre eux Soit (a, b) ∈ Z × Z . On dit que a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.

Dire que a et b sont premiers entre eux signifie que le seul diviseur commun positif de a et b est 1.

Remarque 8.10

Proposition 8.5

Soient (a, b) ∈ Z × Z ^{avec (a, b)} , ^{(0, 0) et d} ∈ N ^.

On a l’équivalence : d = a ∧ b si, et seulement si, il existe a

et b

deux entiers premiers entre eux tels que a = d × a

et b = d × b

.

Démonstration

(⇒) On suppose qued=a∧b.

Par définition du PGCD, il existea⁰etb⁰des entiers tels quea=d×a⁰etb=d×b⁰. Soitnun diviseur dea⁰etb⁰. Montrons quen=1 oun= −1.

On an|a⁰etn|b⁰. D’où, en multipliant pard, on a : (n×d)|aet (n×d)|b.

Donc, par caractérisation du PGCD, (n×d)|d.

Comme (a,b),(0, 0), on ad,^{0. Donc,n}|1.

Ainsi,n=1 oun= −1. Les seuls diviseurs communs àa⁰etb⁰sont−1 et 1, donca⁰∧b⁰=1.

(⇐) D’après l’exercice précédent, on a :a∧b=(d×a⁰)∧(d×b⁰)= |d| ×(a⁰∧b⁰). Or,dÊ0 eta⁰∧b⁰=1. Donc,a∧b=d.

Méthode 8.2

Pour résoudre une équation faisant intervenir a, b et a ∧ b, on pourra penser à écrire a = d × a

et b = d × b

où a

et b

sont premiers entre eux.

Exercice 8.4

Déterminer les couples (a, b) , (0, 0) d’entiers naturels tels que a + 2 b = 5 a ∧ b.

Résolution

Analyse: soit (a,b) un couple solution.

On noted=a∧b. On ad,^{0 car (a,b)},^{(0, 0).}

Il existea⁰etb⁰deux entiers premiers entre eux tels quea=d×a⁰etb=d×b⁰. D’où,a⁰+2b⁰=5.

Commea⁰etb⁰sont positifs, on a :a⁰É5 et 2b⁰É5. D’où,b⁰É2.

Commea⁰etb⁰sont premiers entre eux, on a : (a⁰,b⁰)=(1, 2) ou (a⁰,b⁰)=(3, 1).

Donc, (a,b)=(d, 2d) et (a,b)=(3d,d).

Synthèse: on suppose qu’il existed∈N^?tel que (a,b)=(d, 2d) et (a,b)=(3d,d).

• Cas 1 : (a,b)=(d, 2d).

L’entierddiviseaetbet est le plus grand diviseur dea.

Donc,dest le plus grand diviseur commun deaetb. D’où,b=a∧b.

De plus, on a biena+2b=5d.

• Cas 2 : (a,b)=(3d,d).

L’entierddiviseaetbet est le plus grand diviseur deb.

Donc,dest le plus grand diviseur commun deaetb. D’où,b=a∧b.

De plus, on a biena+2b=5d.

Ainsi, les solutions sont les couples (d, 2d) et (3d,d) avecd∈N^?.

ARITHMÉTIQU II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

Corollaire 8.2

Toute nombre rationnel s’écrit sous forme irréductible : c’est-à-dire sous la forme a

b avec a et b des entiers relatifs tels que a ∧ b = 1 et b , ^0.

Démonstration

Soitx∈Q, il existe (p,q)∈Z×Z^?tel quex=p q.

On noted=p∧q. L’entierdest non nul carqest non nul.

Par la proposition précédente, il existeaetbdeux entiers premiers entre eux tels quep=a×detq=b×d.

Commeq,^{0, on ab},^0.

De plus, on a :x=p q=a

b.

Exercice 8.5 – Lemme de Gauß Soient (a, b, c) ∈ Z

^.

Si a et b sont premiers entre eux et si a divise b × c, alors a divise c.

Ce résultat hors-programme est connu sous le nom de Lemme de Gauß. Le théorème de Bezout et le lemme de Gauß permettent de résoudre des équations diophantiennes.

Résolution

On sait queadiviseb×c. De plus,adivisea×c.

Donc,adivise (a×c)∧(b×c).

Or, dans un exercice précédent, on a montré que (a×c)∧(b×c)= |c| ×(a∧b).

Commeaetbsont premiers entre eux, on a :a∧b=1, donc, (a×c)∧(b×c)= |c|.

Donc,adivise|c|, puis,adivisec.

II.4. Plus petit commun multiple

Soit (a, b) ∈ Z

× Z

^.

L’ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b est une partie de N , non vide (il contient | a × b | ) et est minoré (par | a | ou | b | ), il possède donc un plus petit élément, ce qui justifie la définition suivante.

Remarque 8.11

Définition 8.4 – PPCM Soit (a, b) ∈ Z

× Z

^.

Le plus petit commun multiple (PPCM) de a et de b est le plus petit élément de l’ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b.

Autrement dit, le PPCM de a et b est l’unique entier strictement positif m vérifiant :

• a | m et b | m (m est un multiple commun à a et à b),

• m est le plus petit entier strictement positif vérifiant le premier point.

On note m = a ∨ b ou m = PPCM(a, b).

Soit (a, b) ∈ Z

× Z

^.

Ï La condition (a, b) ∈ Z

× Z

signifie que a et b sont non nuls.

Remarque 8.12

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE ARITHMÉTIQU

Ï On pose : a ∨ 0 = 0.

Ï On a : a ∨ b = b ∨ a et | a | ∨ | b | = a ∨ b.

Ï Un nombre non nul possède une infinité de multiple. Contrairement au PGCD, déterminer le PPCM en énumérant les multiples communs peut être fastidieux.

Pour nous simplifier la tâche, on donnera plus loin une formule qui reliera le PPCM et le PGCD.

Théorème 8.6

Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , (0, 0). On note m le PPCM de a et b.

L’ensemble des multiples communs à a et b est l’ensemble des multiples de m. Autrement dit, pour tout n ∈ Z ^,

£ a | n et b | n ¤

⇐⇒ m | n. ( ? )

De plus le PPCM de a et de b est le seul entier strictement positif m à vérifier ( ? ).

Démonstration

ÏOn noteEl’ensemble des multiples communs àaet àbetFl’ensemble de multiples dem. Montrons queE=F.

(⊃) Soitn∈F. Alors,m|n.

De plus, par définition du PPCM,a|metb|m.

Donc,a|netb|n. Autrement dit,nest un multiple commun àaetb. Donc,n∈E.

D’où,F⊂E.

(⊂) Soitn∈E. Alors,a|netb|n.

On effectue la division euclidienne denparm:n=m×q+roùq∈Z^{et 0}Ér<m.

On a :a|neta|mdonc,a|r. De même,b|r.

Donc,rest un multiple commun àaetbet est strictement inférieur àm.

Or,mest le plus petit multiple commun strictement positif àaetb. Donc,rÉ0.

De plus,rÊ0, donc,r=0.

D’où,n=m×q. Autrement dit,m|n. Donc,n∈F. D’où,E⊂F.

Ainsi,E=F.

ÏSoitm₁un entier strictement positif vérifiant (?).

Par définition dem, on a :a|metb|m. Donc, commem₁vérifie (?), on am₁|m.

On am₁|m1, donc, commem₁vérifie (?),a|m1etb|m1. Donc, commemvérifie (?), on am|m1.

D’où,m₁|metm|m₁. Donc, commemetm₁sont positifs, on a :m=m₁.

Méthode 8.3 – Montrer que m = a ∨ b

Pour montrer que d est le PPCM de a et b, il suffit de montrer que : 1. m un multiple de a et b ;

2. Pour tout n ∈ N ^{, si a} | n et b | n, alors m | n.

Proposition 8.6

Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , (0, 0). On a :

(a ∧ b) × (a ∨ b) = | a × b | . Démonstration

ÏSans perdre de généralité, on supposeaetbpositifs ou nuls.

ÏSia=0 etb,^{0, on aa}∨b=0, donc l’égalité est vérifiée. De même, sia,^{0 etb}=0, l’égalité est clairement vraie.

ÏDans la suite, on supposea,^{0 etb},^{0. On notem}=a∨b.

• On sait quea×best un multiple commun àaet àb. Donc, par caractérisation du PPCM,m|(a×b).

On en déduit qu’il existed∈N^{tel quea}×b=m×d.

Montrons qued=a∧b.

• On sait quem|a, donc, il existek∈N^{tel quem}=a×k. Or,a×b=m×d. Donc,a×b=a×k×d.

Commea,^{0, on a :b}=k×d. Donc,d|b.

ARITHMÉTIQU II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

De même,d|a.

• Soitn∈N^{tel quen}|aetn|b. Montrons quen|d.

On a :a=n×petb=n×qoùpetqsont des entiers.

Donc,a×b=n×b×peta×b=n×a×q. D’où,n×b×p=n×a×q.

De plus, commeaetbsont non nuls, on ne peut pas avoirn=0. Donc,b×p=a×q.

On en déduit queb|(a×q). De plus, on aa|(a×q).

Donc, par caractérisation du PPCM,m|(a×q).

D’où, (m×n)|(n×a×q).

Or,n×a×q=a×b=m×d. Donc, (m×n)|(m×d).

Commeaetbsont non nuls,m,^0.

Ainsi,n|d.

Par caractérisation du PGCD,d=a∧b.

On a : 6 ∨ 15 = 6 × 15

6 ∧ 15 = 6 × 15

3 = 2 × 15 = 30.

Exemple 8.5

Corollaire 8.3

Soit (a, b) ∈ Z

^{avec (a, b)} , ^{(0, 0).}

Si a et b sont premiers entre eux, alors : (a ∨ b) = | a × b | . Démonstration

Siaetbsont premiers entre eux, alorsa∧b=1.

Exercice 8.6

Soit (a, b, c) ∈ Z

^{avec (a, b)} , ^{(0, 0) et c} , ^0.

Montrer que (a × c) ∨ (b × c) = | c | × (a ∨ b).

Résolution

ÏSiaoubest nul alors l’égalité est clair (les PPCM sont nuls).

ÏDans la suite, on supposea,^{0 etb},^0.

On a :

(a×c)∨(b×c)= |a×c×b×c|

(a×c)∧(b×c)=|a×c×b×c|

|c| ×(a∧b) = |c| ×|a×b|

(a∧b)= |c| ×(a∨b).

Méthode 8.4

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

Pour résoudre une équation faisant intervenir a, b, a ∧ b et a ∨ b, on pourra penser à écrire a = (a ∧ b) × a

et b = (a ∧ b) × b

où a

et b

sont premiers entre eux.

On a alors : a ∨ b = (a ∧ b) × a

× b

. Démonstration

En effet, en notantd=a∧b, on a :d×(a∨b)=a×b=d×a×d×b.

On simplifie ensuite pard,^{0 (caraetb}sont non nuls).

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE ARITHMÉTIQU

Exercice 8.7

Résoudre dans N

, le système :

½ a ∧ b = 5 a ∨ b = 60.

Résolution

Analyse.Soit (a,b) un couple solution. Commea∨b,^{0, on aa},^{0 etb},^0.

On noted=a∧b. Il existea⁰etb⁰deux entiers premiers entre eux tels quea=d×a⁰etb=d×b⁰. D’où, (a∧b)×(a∨b)=a×b=(a∧b)²×a⁰×b⁰.

Donc, en simplifiant para∧b=5,0, il vient :a∨b=(a∧b)×a⁰×b⁰=5a⁰×b⁰. Or,a∨b=60, donca⁰×b⁰=12.

On en déduit que (a⁰,b⁰)∈©

(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)ª .

Or,a⁰etb⁰sont premiers entre eux. Donc, les couples (2, 6) et (6, 2) sont exclus.

Donc, (a⁰,b⁰)∈©

(1, 12), (3, 4), (4, 3), (12, 1)ª . Or,a=d×a⁰=5a⁰etb=5b⁰.

Donc, (a,b)∈©

(5, 60), (15, 20), (20, 15), (60, 5)ª . Synthèse.Soit (a,b)∈©

(5, 60), (15, 20), (20, 15), (60, 5)ª .

Les diviseurs de 5 sont 1 et lui même. De plus, 60=12×5. Donc, 5 divise 60 et est le plus grand diviseur de 5.

Donc, 5=5∧60, puis, en utilisant la relation reliant le PGCD et le PPCM, il vient : 5∨60=60×5 5 =60.

Donc, (5, 60) est solution.

Comme 5∧60=60∧5 et 5∨60=60∨5, le couple (60, 5) est aussi solution.

On a : 20=15×1+5, puis 15=5×3+0. Donc, 5=20∧15, puis 20∨15=20×15

5 =60. Donc, (15, 20) est solution.

Comme 15∧20=20∧15 et 15∨20=20∨15, le couple (20, 15) est aussi solution.

Ainsi, l’ensemble des solutions est :S=©

(5, 60), (15, 20), (20, 15), (60, 5)ª .

ARITHMÉTIQU III. NOMBRES PREMIERS

III. Nombres premiers

III.1. Définition

Définition 8.5

On dit qu’un entier naturel p Ê 2 est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.

L’ensemble des nombres premiers est noté P .

Soient p un nombre premier et (a, b) ∈ N

^{. Si p} = a × b, alors a = 1 ou b = 1.

Remarque 8.13

2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 571,..., 49 999,..., 2

− 1 (découvert le 7 décembre 2018 et composé de 25 millions de chiffres) sont des nombres premiers.

Exemple 8.6

Proposition 8.7

Soit p est un nombre premier. Pour tout a ∈ Z ^{, si p} ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux.

Démonstration

Commepest premier, ses seuls diviseurs sont−p,−1, 1 etp. Or,pne divise pasa.

De plus, 1 est un diviseur dea.

Donc,a∧p=1.

Ï En particulier, pour tout k ∈ ‚ 1, p − 1 ƒ , k ∧ p = 1.

Ï

Un nombre positif ou nul n n’est pas premier si n = 0 ou n = 1 ou n = a × b avec a Ê 2 et b Ê 2.

Remarque 8.14

Proposition 8.8 Soit n Ê 1 un entier.

Si n possède un diviseur supérieur ou égal à p

n, alors il possède un diviseur inférieur ou égal à p n.

Démonstration

Soitdtel qued|netp

nÉdÉn, doncn=d×koùk∈N^?(kest non nul carnest non nul).

D’où,kest un diviseur denet, en multipliant parkl’inégalité p

nÉd, il vient :p

n×kÉn.

Donc, en simplifiant parp

n>0, on a :kÉp n.

Ainsi,kest un diviseur deninférieur ou égal àp

n.

III. NOMBRES PREMIERS ARITHMÉTIQU

Ï Pour tester si un entier n est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun entier p compris entre 2 et p

n, ou encore, qu’il n’est divisible par aucun entier p compris entre 2 et ¥ p n ¦

+ 1.

Ï En particulier, pour tester si un entier naturel strictement inférieur à 100 est premier, il suffit de tester s’il est divisible par 2, 3, 5 et 7.

Ï On a alors l’algorithme suivant pour déterminer si un nombre est premier.

Python

1

def isPrime(n):

2

"""

3

Test de primalité

4

Entrée : entier n

5

Sortie : booléen. True si n est premier et False sinon

6

"""

7

if n <= 1:

8

return False

9

else:

10

d = 2

11

while d*d <= n:

12

if n%d == 0:

13

return False

14

d = d+1

15

return True

Ï L’algorithme est correct d’après la proposition précédente.

Ï L’algorithme se termine, un variant de boucle est : n − d

(à chaque itération d est incrémenté de 1).

Ï Dans le pire cas, tous les entiers compris entre 2 et p

n sont testés, il y a donc au plus p

n itérations. De plus, chaque itération à un coût constant et un nombre fini d’opérations élémentaires sont effectuées. La complexité de cet algorithme est en O( p

n).

L’algorithme naïf, dans lequel tous les entiers compris entre 2 et n − 1 sont testés, a une complexité en O(n).

Remarque 8.15

Exercice 8.8

À l’aide de la fonction précédente, vérifier que 2021 n’est pas un nombre premier. Quelle est la prochaine année première ?

Résolution

On écrit dans la console : Python

1 >>> isPrime(2021)

2 False

Pour déterminer la prochaine année première, on exécute le programme suivant.

Python

1 N=2021

2 while not isPrime(N):

3 N=N+1

4 print(N)

On trouveN=2027. Encore un peu de patience...

ARITHMÉTIQU III. NOMBRES PREMIERS

Proposition 8.9

Tout entier strictement supérieur à 1 possède un diviseur premier.

Démonstration

On raisonne par récurrence forte. Pour toutnÊ2 entier, on noteHn: «npossède un diviseur premier ».

Initialisation:n=2. 2 est un nombre premier et 2 divise 2. Donc,H2est vraie.

Hérédité: soitnÊ2 un entier. On supposeHnet on montreHn+1. Il y a deux cas.

• Cas 1 :n+1 est un nombre premier. Dans ce cas,n+1 est un diviseur premier den+1.

• Cas 2 :n+1 n’est pas un nombre premier. Dans ce cas, il existeaun diviseur den+1 différent de 1 etn+1.

Donc,a∈ ‚2,nƒ. D’où, par hypothèse de récurrence, il existedun diviseur premier dea.

On a :d|aeta|n. Donc, par transitivité,d|netdest premier.

Dans les deux cas, on a trouvé un diviseur premier den+1. Donc,Hn+1est vraie.

Par le principe de récurrence, tout entier strictement supérieur à 1 possède un diviseur premier.

Proposition 8.10

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

Par l’absurde, on suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers. On les notep₁,p₂, . . .,p_N. On a alorsP=©

p₁,p₂, . . . ,p_Nª . On noten=1+p₁×p₂× · · · ×p_N.

Comme lesp_ksont des nombres premiers, ils sont supérieurs ou égaux à 2. Donc,nÊ2.

par la proposition précédente,npossède un diviseur premier.

Par hypothèse, ce diviseur premier appartient àP=©

p₁, . . . ,p_Nª

. Quitte à renuméroter lesp_k, on suppose quep₁est un diviseur den.

De plus,p₁divisep₁×p₂× · · · ×p_N.

Donc,p₁divise 1=n−p₁×p₂× · · · ×p_N. Contradiction avecp₁Ê2 (p₁est un nombre premier).

Ainsi, l’ensemble des nombres premiers est infini.

III.2. Crible d’Ératosthène

Le crible d’Ératosthène est une méthode simple pour déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel n donné :

1. Écrire tous les entiers de 0 à n.

2. Barrer 0 et 1.

3. Considérer le premier nombre p non barré (c’est un nombre premier). Barrer tous les multiples de p (sauf p).

4. Recommencer l’étape précédente tant que p É n.

5. A la fin, les nombres non barrés sont les nombres premiers inférieurs à n.

III. NOMBRES PREMIERS ARITHMÉTIQU

Algorithme 2 : Crible d’Ératosthène Données : n un entier naturel

Sorties : P une liste dont les termes sont les nombres premiers inférieurs à n.

Traitement :

1

L ← Liste des entiers de 0 à n;

2

L[1] ← 0;

3

P ← Liste vide;

4

pour p allant de 2 et n faire

5

si L[ p] , ^{0 alors}

6

Ajouter p à la fin de P;

7

pour k allant de p

à n avec un pas de p faire

8

L[k] ← 0;

Renvoyer : P Python

1

def crible(n):

2

'''

3

Entrée : n est un entier

4

Sortie : Liste des nombres premiers inférieurs à n (n compris)

5

'''

6

L=[k for k in range(n+1)]

7

L[1]=0

8

P=[]

9

for p in range(2,n+1):

10

if L[p]!=0:

11

P.append(p)

12

for k in range(p*p,n+1,p):

13

L[k]=0

14

return P

III.3. Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème 8.7

Ï Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Il s’écrit sous la forme : n = Y

p∈P

p

où (

)

est une famille d’entier naturel dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini.

Ï L’écriture précédente est unique, à l’ordre des facteurs près.

Ï Cette écriture est appelée la décomposition en produit de facteurs premiers de n. Les nombres premiers p tels que

, 0 sont appelés les facteurs premiers de n.

Démonstration

Admis (nous avons démontré l’existence de cette décomposition à l’aide d’une récurrence forte).

ARITHMÉTIQU III. NOMBRES PREMIERS

Ï Dans le produit Y

p∈P

p

seul un nombre fini de terme est différent de 1. Le produit est bien un produit fini.

Ï En prenant pour tout p ∈ P ,

= 0, on trouve Y

p∈P

p

= 1 et le théorème est étendu au cas où n = 1.

Remarque 8.16

On a : 2021 = 43

× 47

et 2022 = 2

× 3

× 337

. Exemple 8.7

Exercice 8.9

Écrire une fonction decomposition(n) qui prend en paramètre un entier n supérieur ou égale à 2 et renvoie la liste des tuples (d,nb) où d est un diviseur premier de n et nb est le nombre d’apparition de d dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers.

Exemples : la décomposition en produit de facteurs premiers de 360 et 2

× 3

× 5

. Python

1

>>> decomposition(360)

2

[(2, 3), (3, 2), (5, 1)]

3

4

>>> decomposition(2**754*3**689*5**784*11**923)

5

[(2, 754), (3, 689), (5, 784), (11, 923)]

Résolution

Python

1 def decomposition(n):

2 """

3 Entrée : entier naturel n

4 Sortie : décomposition en produit de facteurs premiers de n (sous forme d'une liste)

5 """

6 N=n

7 d=2

8 nb=0

9 L=[]

10 while N!=1:

11 while N%d==0:

12 nb=nb+1

13 N=N//d

14 if nb!=0:

15 L.append((d,nb))

16 d=d+1

17 nb=0

18 return L

Proposition 8.11

Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. On considère les décompositions en produit de facteurs premiers de a et b :

a = Y

p∈P

p

et b = Y

p∈P

p

. Alors,

Ï a divise b si, et seulement si, pour tout p ∈ P ,

É

.

III. NOMBRES PREMIERS ARITHMÉTIQU

Ï a ∧ b = Y

p∈P

p

. Ï a ∨ b = Y

p∈P

p

.

Démonstration

Ï (⇒) On suppose queadiviseb. Par définition, il existec∈N^{tel queb}=a×c.

Commeaetbsont non nuls, on ac,^0.

Il y a deux cas.

• Cas 1:c=1. Dans ce cas, il n’y a rien à faire. En effet, dans ce casa=bet, pour toutp∈P,αp=βp.

• Cas 2:cÊ2. On écrit la décomposition en produit de facteurs premiers dec:c= Y p∈P

p^γp. D’où, Y

p∈P

p^βp=b=a×c= Y p∈P

p^αp× Y p∈P

p^γp= Y p∈P

p^αp+γp.

Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, pour toutp∈P,βp=αp+γp. Donc, comme lesγpsont des entiers naturels, pour toutp∈P,αpÉβp.

Dans, les deux cas, pour toutp∈P,αpÉβp.

(⇐) On suppose que, pour toutp∈P,αpÉβp. On posec= Y p∈P

p^βp−αp∈N^. On a alors,a×c= Y

p∈P

p^αp× Y p∈P

p^βp−αp= Y p∈P

p^βp=b. Donc,adiviseb.

Ï On noted= Y p∈P

p^min(αp,βp).

Pour toutp∈P, on a min(αp,βp)Éαpet min(αp,βp)Éβp. Donc, par le point précédent,ddiviseaetddiviseb.

Soitn∈Nest un diviseur commun àaetb. Montrons quendivised.

Commeaetbsont non nuls,n,0. D’autre part, le casn=1 est clair (1 divise tous les entiers). Dans la suite, on supposenÊ2.

On écritn= Y p∈P

p^γpla décomposition en produit de facteurs premiers den.

Par le point précédent, pour toutp∈P,γpÉαpetγpÉβp. Donc,γpÉmin(αp,βp).

Donc, de nouveau par le point précédent,ndivised.

Ainsi, par caractérisation du PGCD,d=a∧b.

Ï On notem= Y p∈P

p^max(αp,βp).

Pour toutp∈P, on aαpÉmax(αp,βp) etβpÉmin(αp,βp).

Donc, par le point précédent,adivisemetbdivisem.

Soitn∈Nest un multiple commun strictement positif àaetb. Montrons quemdivisen.

Commeaetbsont supérieurs ou égaux à 2, on a :nÊ2.

On écritn= Y p∈P

p^γpla décomposition en produit de facteurs premiers den.

Par le point précédent, pour toutp∈P,αpÉγpetβpÉγp. Donc, max(αp,βp)Éγp. Donc, de nouveau par le point précédent,mdivisen.

Ainsi, par caractérisation du PPCM,m=a∨b.

Pour tout (x, y) ∈ R

^{, max(x, y)} + min(x, y) = x + y, donc, avec les notations de la proposition, on retrouve que a × b = (a ∧ b) × (a ∨ b).

Je vous conseille de retenir cette démonstration ! Elle est beaucoup plus rapide que celle donnée précédemment.

Remarque 8.17

Exercice 8.10

Soit n Ê 2 un entier. Déterminer le nombre de diviseurs de n.

ARITHMÉTIQU III. NOMBRES PREMIERS

Résolution

Soitd∈N^?.

On décomposen= Y p∈P

p^αpetd= Y p∈P

p^βpen produit de facteurs premiers.

Par la proposition précédente, un entierddivisensi, et seulement si, pour toutp∈P,βp∈ ‚0,αpƒ.

Ainsi, pour définir un diviseur den, il a doncαp+1 choix pour chaque nombre premierp.

Ainsi, le nombre de diviseurs denest Y p∈P

(αp+1).

Remarque: Le nombre d’entiersαpnon nuls est fini, donc le nombre d’entiersαp+1,1 est fini. Le produit est bien composé d’un nombre fini de facteurs. Plus précisément, en notantp₁, . . . ,p_Nles facteurs premiers den, le nombre de diviseurs denest

N Y i=1

(αp_i+1).

Dans un exercice précédent, on a montré que 360=2³×3²×5¹. Le nombre de diviseurs de 360 est (3+1)×(2+1)×(1+1)=24.