Exercice1:FormuledeBayes (2points) Questionsdecours: (2points) StatistiquesAppliqueesCorrectionduContr^oleContinuN1TDN5

Statistiques Appliquees

Correction du Contr^ole Continu N1 TD N5

Gwenn PARENT

Questions de cours : (2 points)

1. Donnez la denition de la convergence en probabilite. (1 point)

[Convergence en probabilite] On dit que (Xn) converge en probabilite vers X (Xn P! X ou p limn!+1Xn = X) si

8" > 0; lim

n!+1P r(jX_n Xj > ") = 0

2. Rappelez l'enonce du theoreme Central-Limite. (1 point)

Si (Xn) est une suite de v.a ; independantes et de m^eme loi, admettant des moments d'ordres un et deux notes m = E(Xn) et ²= V (Xn), alors :

pn X_n m

Loi! N (0; 1)

Exercice 1 : Formule de Bayes (2 points)

Dans une Coupe de France de football, l'equipe du Paris-Saint-Germain, de premiere division, estime qu'elle a 3 chances sur 4 de gagner si elle rencontre une equipe de D2 et qu'elle a 1 chance sur 3 de gagner si c'est une equipe de premiere division. Vous entendez rapidement a la radio parler de la defaite du PSG, mais ne savez pas contre qui l'equipe jouait son match. Sachant que la proportion d'equipes de D2 restant engagees dans la Coupe est p, calculez la probabilite que le PSG ait rencontre une equipe de D2, sachant que le club parisien a perdu son match.

Posons d'abord les notations :

Soit G = l'evenement "le PSG gagne son match" et A = l'evenement "le PSG rencontre une equipe de D2", l'enonce nous indique donc que :

P (G n A) = 3

4 ! P (G n A) = 1

4 P (G n A) = 1

3 ! P (G n A) = 2

3

p(A) = p ! p(A) = 1 p

On cherche ici P (A n G), soit la probabilite que le PSG ait rencontre une equipe de D2 sachant qu'il a perdu son match.

Il sut d'appliquer la Formule de Bayes :

P (A n G) = P (G n A)P (A)

P (G n A)P (A) + P (G n A)P (A) P (A n G) = ¹⁴p

14p + ²₃(1 p)= ¹⁴p p(¹₄ ²₃)p +²₃ P (A n G) = ¹⁴p

23 5

12p = 3p 8 5p

Exercice 2 : Fonction de densite conjointe (7 points)

Soit (X; Y ) un couple de variables aleatoires dont la loi est determinee par la densite conjointe suivante : f_X;Y(x; y) =

k e ^(x+y) si (x; y) [0; +1] [0; x]

0 sinon

1. Determinez la valeur de la constante k. (2 points) On sait que k doit verier : Z ₊₁

1

Z ₊₁

1 f_X;Y(x; y)dy

dx = 1 On doit respecter la condition (x; y) [0; +1] [0; x] pour integrer, d'ou :

k Z ₊₁

0 e ^x Z _x

0 e ^ydy

dx = 1

k Z ₊₁

0 e ^x

e ^y _x

0 dx = 1 k

Z ₊₁

0 e ^x(1 e ^x)dx = 1 k

Z ₊₁

0

e ^x e ^2x

dx = 1 k

e ^x+e ^2x 2

₊₁

0 = 1 k(1 1

2) = k

2 = 1 , k = 2

La densite s'ecrit donc : fX;Y = 2e ^(x+y) si (x; y) [0; +1] [0; x] et fX;Y = 0 sinon.

2. Determinez les lois marginales de X et de Y. Ces variables sont-elles independantes ? (2 points)

La densite marginale de X est : fX(x) =

Z ₊₁

1 fX;Y(x; y)dy si x [0; +1]; 0 sinon

fX(x) = Z _x

0 2e ^(x+y)dy si x [0; +1]; 0 sinon f_X(x) = 2e ^xh

e ^yi_x

0 si x [0; +1]; 0 sinon fX(x) = 2e ^x(1 e ^x) si x [0; +1]; 0 sinon De m^eme, la densite marginale de Y est :

fY(y) = Z ₊₁

1 fX;Y(x; y)dx si y [0; x]; 0 sinon fY(y) =

Z ₊₁

0 2e ^(x+y)dx si y [0; x]; 0 sinon f_Y(y) = 2e ^y

Z ₊₁

0 e ^xdx si y [0; x]; 0 sinon f_Y(y) = 2e ^yh

e ^xi₊₁

0 si y [0; x]; 0 sinon fY(y) = 2e ^y(1) si y [0; x]; 0 sinon soit : fY(y) = 2e ^y si y [0; x], 0 sinon.

On remarque que f_X;Y(x; y) 6= f_X(x) f_Y(y) (en eet : 2e ^(x+y)6= 2e ^x(1 e ^x) 2e ^y= 4e ^(x+y)(1 e ^x) ), ce qui prouve que X et Y ne sont pas independants. Cela etait deja suggere par le fait que 0 < y < x (y est contraint par x, donc les variables aleatoires ne sont pas independantes)

3. Determinez les densites conditionnelles de X n Y = y et de Y n X = x. (1 point) La densite conditionnelle de XjY = y s'ecrit :

f_{XjY =y}(x; y) = fX;Y(x; y)

f_Y(y) = 2e ^(x+y)

2e ^y = e ^x si (x; y) [0; +1] [0; x]

La densite conditionnelle de Y jX = x s'ecrit : fY jX=x(x; y) = f_X;Y(x; y)

fX(x) = 2e ^(x+y)

2e ^x(1 e ^x) = e ^y

(1 e ^x) si (x; y) [0; +1] [0; x]

4. Determinez E(X n Y = y). (2 points) E(XjY = y) =

Z ₊₁

1 x:f_X=Y(x; y)dx = Z ₊₁

0 x:e ^xdx par integration par partie (u = x => u⁰ = 1 et v⁰= e ^x=> v = e ^x), on a :

E(XjY = y) =h

xe ^xi₊₁

0 +

Z ₊₁

0 e ^xdx E(XjY = y) = 0 +h

e ^xi₊₁

0 = 1

Exercice 3 : Intervalles de conance (6,5 points)

Nous pouvons considerer que la note nale sur 20 obtenue au contr^ole continu de Statistiques est, pour chaque etudiant, une variable aleatoire Y, de loi Normale. Les notes obtenues l'annee derniere par 5 groupes de TD (comprenant un total de 127 etudiants) sont supposees ^etre des variables (Y₁, ..., Y₁₂₇) independantes et identiquement distribuees selon une loi Normale, d'espe- rance m et de variance ²= 13:08 = (3:617)² .

1. Quel est le meilleur estimateur de m ? Quelle est la loi de cet estimateur ? (1,5 points) Si Y1; :::; YN i:i:d: N m; ²

, alors le meilleur estimateur de m est la moyenne empirique : YN = ^PNi=1_N ^Yi La loi de cet estimateur est : Y_N = ^PNi=1_N ^Yi N

m;_N² En eet :

E(Y_N) = E

P_N

i=1Y_i N

= 1 N

XN i=1

E(Y_i) = 1

N(Nm) = m V (Y_N) = V

P_N

i=1Yi

N

= 1

N

₂ X_N

i=1

V (Y_i) = 1

N² (N²) =² N 2. Construire un intervalle bilateral I de conance a 90% pour m. (3 points)

YN =^PNi=1_N ^Yi N m;_N²

et donc la fonction pivotale UN associee est : UN = YNq m

² N

N (0; 1) (m^eme pour les petites valeurs de N)

Un intervalle bilateral de conance a 90% correspond a une probabilite d'erreur de 5% de chaque c^ote.

(n'hesitez pas a refaire le dessin pour visualiser quelle valeur rechercher dans la table de la loi normale).

Lecture dans la table de la loi N (0; 1) : P (U_N 1; 645) = 0:95 est equivalent a P (jU_Nj 1; 645) = 0:90 On en deduit que : P ( 1; 645 UN 1; 645) = 0; 90

Resolvons les inegalites en m , an d'obtenir l'intervalle bilateral de conance 90% pour m :

P 0

@ 1; 645 Yq^N m

² N

1; 645 1 A = 0; 90

P 1; 645 r²

N Y_N m 1; 645 r²

N

!

= 0; 90

P Y_N 1; 645 r²

N m Y_N + 1; 645 r²

N

!

= 0; 90

3. Application numerique : calculer l'intervalle obtenu precedemment sachant que la valeur moyenne observee sur les 5 groupes de TD de l'annee derniere est egale a 10.14 : (0,5 point)

Y = ₁₂₇^{1 127}P

i=1Yi= 10:14

Application numerique : pour N = 127, nous obtenons l'intervalle bilateral de conance a 90% suivant : P

Y127 0:528 m X127+ 0:528 = 0; 90 Soit :

P f9:612 m 10:668g = 0; 90

4. Si vous souhaitez prevoir la note qu'obtiendra un eleve de Statistiques cette annee (etudiant dans la m^eme universite que celle des 5 groupes de TD etudies precedemment), en faisant l'hypothese que sa note notee Y2007 est independante des 127 variables deja observees et suit la m^eme loi qu'elles. Indiquez comment vous procederiez pour calculer un intervalle de prevision pour Y2007 (Indiquez les etapes a suivre, et sur quelle variable vous vous baseriez, mais il n'est pas demande de trouver l'intervalle de prevision). (1,5 points)

Je vous redonne toute la correction (avec un pourcentage de conance de 95%), mais je vous demandais uniquement d'expliquer le procede.

On suppose que Y₂₀₀₇ N(m; ²) est independante des 127 notes deja observees dans la m^eme universite.

La meilleure prevision ponctuelle de Y₂₀₀₇serait m si on en connaissait la valeur exacte. Nous considerons donc la meilleure estimation de m, a savoir Y_N, obtenu car Y_N minimise l'erreur quadratique moyenne (MSE).

Nous nous basons donc sur l'erreur de prevision Y2007 YN qui suit une loi N 0; ²(1 + _N¹) car E(Y2007 YN) = E(Y2007) E(YN) = m m = 0

et V (Y₂₀₀₇ Y_N) = V (Y₂₀₀₇) + V (Y_N) 2cov(Y₂₀₀₇; Y_N) = ²+_N² = ²(1 +_N¹) car Y₂₀₀₇ et Y_N sont independantes.

Donc la fonction pivotale est la suivante : U = Y2007 YN

q 0

²(1 +_N¹) N (0; 1) (m^eme pour les petites valeurs de N)

Un intervalle bilateral de conance a 95% correspond a une probabilite d'erreur de 2,5% de chaque c^ote.

Lecture dans la table de la loi N (0; 1) pour un intervalle bilateral de conance a 95% : P (U 1:96) = 0:975, qui est equivalent a P (jUj 1:96) = 0:95 :

On en deduit que : P ( 1:96 U 1:96) = 0; 95

Resolvons les inegalites en Y2007 , an d'obtenir l'intervalle bilateral de conance 95% pour Y2007:

P 0

@ 1:96 Y²⁰⁰⁷ YN q² 1 +_N¹ 1:96

1 A = 0; 95

P 1:96 s

²

1 + 1 N

Y₂₀₀₇ Y_N 1:96 s

²

1 + 1 N

!

= 0; 95

P Y_N 1:96 s

²

1 + 1 N

Y₂₀₀₇ Y_N+ 1:96 s

²

1 + 1 N

!

= 0; 95

Application numerique : l'intervalle de prevision a 95% pour la note de notre eleve de Statistiques cette annee est :

P YN 7:116 Y2007 YN+ 7:116

= 0; 95 3:024 Y₂₀₀₇ 17:256

Exercice 4 : Convergence en probabilite et inegalite de Tchebychev (5 points)

Soit (X1; X2, ... Xn+1) une suite de variables aleatoires de Bernouilli de m^eme parametre p, deux a deux independantes. On introduit pour tout entier naturel non nul n " N, les variables aleatoires :

Yn= ^Xn ₂^Xn+2 et Tn= ^Y1+Y2+:::+Y_n ⁿ

1. Determinez la loi de Y_n : Quelles valeurs peut prendre Y_n? Donnez la distribution de pro- babilite de Yn, et calculez son esperance et sa variance. (2 points)

Les X_i sont des variables aleatoires de Bernouilli B(p), donc nous avons : P (X_i= 1) = p et P (X_i= 0) = 1 p. Donc Y_n peut prendre les valeurs 0, ¹₂ et ¹₂, avec les probabilites suivantes :

P (Y_n = 0) = P ((X_n= 0)&(X_n+1= 0)) + P ((X_n = 1)&(X_n+1= 1)) = (1 p)²+ p²= 1 2p + 2p² P (Y_n =¹₂) = P ((Y_n= ¹₂) = P ((X_n= 0)&(X_n+1= 1)) = P ((X_n= 1)&(X_n+1= 0))

P (Y_n =¹₂) = P ((Y_n= ¹₂) =¹₂(1 P (Y_n= 0)) = ¹₂(1 (1 2p + 2p²)) = p(1 p) E(Yn) = E(^Xn ₂^Xn+2) = ¹₂E(Xn Xn+2) = ¹₂(p p) = 0

V (Y_n) = V (^Xn ₂^Xn+2) = (¹₂)²V (X_n X_n+2) = ¹₄[V (X_n) + V (X_n+2) 2cov(X_n; X_n+2)]

Or les variables X_n et X_n+2 sont independantes donc cov(X_n; X_n+2) = 0, donc : V (Y_n) =¹₄[p(1 p) + p(1 p)] = ^{p(1 p)}₂

2. Calculez l'esperance de T_n. (1 point) E(T_n) = E(^Y1+Y2+:::+Y_n ⁿ) =_n¹E(Pⁿ

i=1Y_i) =_n¹ Pⁿ

i=1E(Y_i) = _n¹(0) = 0

3. On vous donne la variance de T_n : V (T_n) = ^{p(1 p)}_n2 . En deduire que T_n ! 0. (TP ⁿ converge en probabilite vers 0). (2 points)

D'apres l'inegalite de Bienayme-Chebychev :

8 k > 0 ; P (j T_n E(T_n) j k) V (T_n) k² Donc :

8 k > 0 ; P (j T_n 0) j k) ^{p(1 p)}kⁿ²² Soit :

8 k > 0 ; P (j T_n 0) j k) p(1 p) n²k² Or lim

n !+1 p(1 p)

n²k² = 0

Donc d'apres le theoreme de l'encadrement :

n !+1lim P (j T_n 0) j k) = 0 Donc Tn converge en probabilite vers 0 : Tn ! 0.P

Bonus : Redemontrez que V (Tn) =^{p(1 p)}_n2 (+ 1,5 points bonus)

Faites tres attention dans le calcul des variances... ici les Yi ne sont pas independantes entre elles. Il faut donc tenir compte des covariances cov(Yi; Yi+2) ou repasser par les Xi qui elles sont independantes.

V (Tn) = V (^Y1+Y2+:::+Y_n ⁿ)

V (Tn) = (_n¹)²V (^X1₂^X3 +^X2₂^X4 +^X3₂^X5 +^X4₂^X6 + ::: +^{Xn 2}₂^+Xn +^{Xn 1+X}₂ ⁿ⁺¹ +^Xn+X₂ⁿ⁺²) Les X_i vont s'eliminer deux a deux, sauf deux termes au debut et deux a la n :

V (Tn) =_n¹2(¹₂)²V (Pⁿ

i=1(Xi Xi+2)) V (Tn) = (_2n¹)²V (Pⁿ

i=1Xi n+2P

i=3Xi))

V (Tn) = (_2n¹)²V (X1+ X2 Xn+1 Xn+2)

Or les variables X1, X2, Xn+1et Xn+2sont independantes deux a deux, donc toutes les covariances deux a deux sont egales a 0. Donc :

V (Tn) = (_2n¹ )²

V (X1) + V (X2) + V (Xn+1) + V (Xn+2)

V (T_n) =_4n¹24p(1 p) = ^{p(1 p)}_n2