Classe de TS3 21 septembre 2011
Devoir Math´ ematiques N
o1 (1,5 heure)
Exercice 1 : (2 points)
Soitm∈R. SoitP(x) =x2+ 2mx+m+ 2.
1. Discuter selon les valeurs du param`etremle nombre de racine du polynˆomeP. 2. D´eterminermpour que 2 soit racine deP.
Exercice 2 : (2 points)
R´esoudre dansRl’in´equation
1 1−x2 ≤1
Exercice 3 : (2 points)
Soitf d´efinie surRparf(x) =x E(x) o`uE(x) est la partie enti`ere dex.
1. f est-elle continue en 0 ? (justifiez) 2. f est-elle continue en 1 ? (justifiez)
Exercice 4 : (1 point)
On consid`ere la fonctionf(x) =E(cos(x)) pourx∈Ro`uE(x) est la partie enti`ere dex.
Representer graphiquement la fonctionf de mani`ere sommaire sur le graphique suivant. On ne demande aucune justification.
-2 -1 1
−π π π
−π 2 2
3π 2
2π 5π
2
−3π 3π 2
−2π
−5π 2
−3π O
Exercice 5 : (8 points)
D´eterminer les limites suivantes f1(x) = x−4
−x2+x+ 2 en 2+ et en +∞. f2(x) = 3x−x2
|x−3| en−∞et en +3 . f3(x) = x+√
x2−4 en −∞. f4(x) = 5 + 3xsinx
x2+ 5 en−∞. f5(x) = sin(7x)
2x2 en 0.
Exercice 6 : (2 points)
Soit
f(x) =
√x+ 3−2
x−1 six >1 2x−1
3x+ 1 pourx≤1 La fonctionf est-elle continue en 1 ?
Exercice 7 : (3 points)
Soitf d´efinie surRparf(x) = 3x4−8x3−18x2+ 3
1. D´eterminer la d´eriv´eef0 de la fonctionf, ´etudiez son signe et dresser le tableau de variations de f (limites comprises).
2. Montrer que f admet une unique racine α dans l’intervalle [0; 3] et en d´eterminer une valeur approch´ee `a 10−2.
