Universite Paris XII, Licence L2 2007-2008 1
Mathematiques Contr^ole Continu N1
TD N2
Gwenn PARENT
Aucun document ni formulaire n'est autorise. Vous disposez de 50 minutes.
L'interrogation est notee sur 21,5 points (+1,5 points de bonus).
ATTENTION... RETOURNEZ LA FEUILLE, SUITE AU VERSO ! ! ! ! !
Questions de cours : (3 points)
1. Enoncez le theoreme du rang.
2. Qu'est ce qu'un systeme homogene ?
QCM : (2,5 points)
Ces propositions sont-elles vraies ou fausses ?
1. Une matrice carree et sa transposee ont m^eme rang.
2. Le produit matriciel est commutatif.
3. (AB) 1= A 1B 1.
4. Une matrice carree A de taille n, est inversible si et seulement si son rang est egal a n.
5. Soit A une matrice carree, alors det(tA) = det(A).
Exercice 1 : Systemes (8 points)
1. Quelles methodes connaissez-vous pour resoudre un systeme lineaire ? (1 point) 2. Soit le systeme suivant :
8<
:
x 3y + z = 0 2x 4y + 2z = 1 3x + y z = 3
Soit A la matrice des coecients de ce systeme et eA sa matrice augmentee. Explicitez A et eA.
Le systeme a-t-il zero, une seule ou une innite de solutions ? Precisez l'ensemble solution. (3,5 points) 3. Deux etudiants ont travaille dans le meme centre aere durant le mois d'aout. Le premier a gagne 3 euros
de moins par jour que le second, mais il a travaille 25 jours, tandis que le second a travaille 20 jours.
Sachant que le premier a gagne 80 euros de plus que le second, calculer le salaire de chacun. (3,5 points)
Universite Paris XII, Licence L2 2007-2008 2
Exercice 2 : Determinants (3 points)
Soit A = 0
@ 2 3 4
1 1 2
2 2 3
1 A
1. Calculez det(A). Quelle autre methode que celle que vous avez utilisee connaissez-vous ? 2. Cette matrice est-elle inversible ?
Exercice 3 : Matrices (5 points)
1. Utilisez la methode du pivot de Gauss pour inverser la matrice suivante : A = 0
@ 2 3 4
1 1 2
2 2 3
1
A. (4 points) 2. Calculez trace A. (1 point)
Bonus : Donnez l'inverse de B =
2 1
2 1
. (1,5 point)
