TD 5 : Statistiques

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 1

TD 5 : Statistiques

Exercice 1 :

La puissance fiscale des voitures d’une grande entreprise se répartit de la façon suivante :

1) Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique.

2) Déterminer la médiane et les quartiles puis le premier et le 9^ème décile.

3) Préciser l’étendue, les intervalles interquartiles et interdéciles de cette série.

4) Préciser le mode de cette série statistique.

Exercice 2 :

Le tableau suivant indique le prix et le nombre de petits déjeuners servis pendant une saison touristique dans plusieurs hôtels auvergnats :

Prix du petit déjeuner (en €) [0 ; 5[ [5 ; 7[ [7 ; 9[ [9 ; 11[ [11; 13[ [13 ; 20[

Nombre de petits déjeuners 150 450 275 175 100 50

1) Déterminer les amplitudes des classes puis les densités.

2) Représenter cette situation à l’aide d’un histogramme.

3) Déterminer la classe modale.

4) Déterminer la classe médiane puis estimer la médiane par interpolation linéaire.

5) Peut-on déterminer le prix moyen ? Puissance

fiscale (CV) Effectif Fréquence 4

5 6 7 8 9

39 57 35 15 7 7

…………

…………

…………

……..…..

…………

………….

TOTAL : ………….. ………….

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 2 Exercice 3 :

Les graphiques ci-dessous sont des histogrammes représentant la distribution de quatre variables continues (I, II, III, IV) sur des échantillons de 120 individus. À votre avis, laquelle de ces variables a :

• la plus grande variance ?

• la plus grande moyenne ?

• le plus petit écart-type ?

• laquelle ne suit pas une distribution « normale » ?

Exercice 4 : Distribution des ménages français selon le nombre de personnes dans le ménage (en %) :

1 personne 30 2 personnes 31 3 personnes 18 4 personnes 15 5 personnes 4 6 personnes 1 7 personnes 1

Donner tous les paramètres connus de cette série et représenter le diagramme en boîtes.

0 5 10 15 20

1 2

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2

0 5 10 15 20 25 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 5 10 15 20 25

0 0,5 1

I II

III

IV

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 3 Exercice 5 :

Le panel de graphiques suivant représente cinq séries de données de quatre façons différentes.

Identifiez les graphiques correspondant aux mêmes données.

Les graphiques intitulés A sont des ____ _____, ceux intitulés B sont des ___________________, ceux notés C sont des _______________________________, et enfin les graphiques D représentent les valeurs observées dans l’ordre de leur apparition.

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 4 Exercice 6 :

Une machine conditionne des paquets d’additif pour ciment. On a prélevé aléatoirement 80 sachets sortis de cette machine la même matinée, et mesuré leur masse en grammes. Les résultats

intermédiaires vous sont fournis ainsi :

∑ = 79 891 ; ∑ = 79 856 983 ; min() = 926 ; max() = 1093 1) Dans cette expérience, quelle est la population échantillonnée ?

2) Calculez à partir des informations données, la moyenne, la variance et l'écart-type des poids dans l’échantillon.

3) On vous donne ensuite les données ainsi regroupées en classes : Classes Effectifs ni

[926 ; 955[ 7 [955 ; 970[ 5 [970 ; 985[ 14 [985 ; 1000[ 15 [1000 ; 1015[ 12 [1015 ; 1030[ 14 [1030 ; 1055[ 11 1055 ou plus… 2

3.1- Représentez graphiquement ces données de deux manières différentes.

3.2- Déterminer la classe modale et les quartiles dans ces données.

3.3- Que pouvez-vous conclure des positions respectives des indicateurs mode, médiane, moyenne ?

Exercice 7 :

Les performances en saut en longueur de 40 élèves de l’INSEP sont les suivantes :

481 619 632 587 476 500 490 555 470 616

565 528 507 625 501 582 556 574 492 601

670 532 533 505 555 584 539 594 524 470

560 537 569 600 613 485 605 650 501 517

On donne : ∑ = 22 100 ; ∑ = 12 323 348 1. De quel type est cette variable ? Quelle est son unité ?

2. Quelles sont, exprimées dans cette unité, la moyenne, l’écart-type, la médiane, l’intervalle interquartiles de cette distribution ?

3. Représenter graphiquement cette distribution de deux manières différentes.

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 5 Exercice 8 :

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d’euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 2007 à 2015.

Année 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Rang de l’année xⁱ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Dépense yi 398 451 423 501 673 956 1077 1255 1427 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi).

2. a) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3). Représenter D dans le repère précédent.

b) En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017.

3. L’allure du nuage permet d’envisager un ajustement exponentiel.

On pose zi = ln yi.

a) Recopier et compléter le tableau suivant où zi est arrondi à 10^-3 :

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

zⁱ 5,986 6,111 6,047 6,217

b) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3).

c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017.

4. En 2017, les ménages ont dépensé 68,9 milliards d’euros pour la culture, les loisirs et les sports et 3,1% de ces dépenses concernent les produits informatiques. Avec lequel des deux ajustements l’estimation faite est-elle la meilleure ?

Exercice 9 : Le but du problème est de déterminer le prix d’équilibre d’un produit. (On rappelle que le prix d’équilibre d’un produit est obtenu lorsque l’offre et la demande sont égales.) Une étude faite sur un produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en euros et les quantités offre et demande sont exprimées en milliers de kilogrammes).

Prix proposé xi 0,30 0,35 0,45 0,65 0,80 1 Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25

Offre zi 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60

Tous les résultats numériques seront donnés en valeur décimale arrondies à 10^-2 près.

1. Représenter sur un même graphique les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques (xi ; yi) et (xi ; zi).

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 Page 6 2. Étude de la demande

La forme du nuage de points associé à la série (xⁱ ; yⁱ) permet d’envisager un ajustement exponentiel de y en x. On pose donc Yⁱ = ln yⁱ.

a) Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à la série (xi ; Yi).

b) En déduire, en utilisant l’égalité Y = ln y, une estimation de la demande y en fonction du prix x au kilogramme.

3. Étude de l’offre

La forme du nuage de points associé à la série (xi ; zi) permet d’envisager un ajustement affine.

Donner une équation de la droite des moindre carrés du nuage de points associé à cette série (xi ; zi).

4. Étude graphique du prix d’équilibre

On considère, dans la suite du problème, que la demande et l’offre sont respectivement formalisées par les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0;2] par : () = ^{, ,} et () = 0,53 + 1,1.

a) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2] et dresser son tableau de variation.

b) Sur le graphique du 1., tracer les courbes représentatives des fonctions f et g.

c) Déterminer graphiquement le prix d’équilibre du produit.