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nde: Contrôle sur 10 points
I
Un repère (0 ; I ; J) est un repère orthonormé si, et seulement si, les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si les longueurs OI et OJ sont égales.
II
On considère les point A(2 ; 5), B(3 ; −8), C(7 ; 1) et D(6 ; 14).
Soit M le milieu de la diagonale [AC].
xM =xA+xC
2 =2+7 2 =9
2etyM =yA+yC
2 =5+1
2 =3 donc M µ9
2; 3
¶ .
NotonsM′le milieu de BD].xM′ =xB+xD
2 =3+6 2 =9
2etyM′=yB+yD
2 =−8+14
2 =3 donc M′ µ9
2; 3
¶ . M et M’ sont égaux (mêmes coordonnées) ; les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu ; c’est unparallélogramme.
III
Soient les points A(2 ; 5) et B(7 ;−1).
C est le symétrique de A par rapport à B si, et seulement s, B est le milieu de [AC].
On en déduit : xB=xA+xC
2 donc 7=2+xC
2 d’où : 14=2+xC doncxC =14−2=12.yB=yA+yC
2 donc−1=5+yC
2 d’où :
−2=yC+5=2+yC doncyC= −2−5= −7.
Finalement : C(12 ;−7)
IV
On considère les points A(1 ; 5), B(2 ; 9) et C(-3 ; -1).
Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les deux diagonales aient le même milieu.
Soit M le milieu de [AC] :xM=xA+xC
2 =1+(−3)
2 = −1 etyM =yA+yC
2 =5+(−1)
2 =2 d’où M(−1 ; 2). Cherchons D tel que M soit le milieu de [BD].
xM =xB+xD
2 donc 2xM =xB+xDd’oùxD=2xM−xB= −2−2= −4.
De même :yM = yB+yD
2 donc 2yM=yB+yD d’oùyD=2yM−yB=4-9=-5.
ABCD soit un parallélogramme si, et seulement si D a pour coordonnées D(−4 ; 5)
