DM 1

DM n

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Exercice

On admet que, si une suite (an)_n∈N converge vers le r´eel `, alors on a :

n→+∞lim 1 n

n−1

X

j=0

a_j =`.

On se propose d’´etudier la suite (un)_n∈

Nd´efinie par la donn´ee deu0= 0 et par la relation, pour n∈N, un+1=u²_n+ 1

2 . 1. (a) Montrer que, pour tout entier natureln, on a

06un <1.

(b) ´Etudier les variations de la suite (u_n)_n∈

N.

(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que la suite (u_n)_n∈

Nconverge et donner sa limite.

2. Pour tout entier natureln, on posev_n= 1−u_n. (a) Montrer que

n→+∞lim 1

vn+1

− 1 vn

=1 2. (b) Montrer que

2 n v_n −→

n→+∞1.

(c) En d´eduire que

un = 1− 2 n+ 1

n(n) avec lim

n→+∞(n) = 0.

3. (a) ´Ecrire un programme enScilab qui renvoie la valeur de un, n´etant demand´e `a l’utilisateur.

(b) En d´eduire un programme, r´edig´e en Scilab, qui permet de d´eterminer et d’afficher la plus petite valeur den pour laquelle on a 1−un<10⁻³ .

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Exercice facultatif

Soit (xn) une suite num´erique qui v´erifie, pour tout entier natureln, la relation :

xn+2= 1

3xn+1+1 3xn

Montrer que :

n→+∞lim x_n = 0.

On donne : 1 +√ 13

6 ≈0,77 et 1−√ 13

6 ≈ −0,44.aetb sont deux r´eels sup´erieurs ou ´egaux `a 1.

On ´etudie la suite num´erique (u_n) d´efinie par :u₀=a u₁=b et pour tout entier natureln: un+2=√

un+√ un+1

Question 1

1.a. Montrer que, pour tout entier natureln, un est bien d´efini et v´erifieun≥1.

1.b. Montrer que la seule limite possible de la suite (un) est 4.

1.c. Ecrire un programme en Scilab qui calcule et affiche la valeur deun pour des valeurs deaet br´eelles sup´erieures ou ´egales `a 1 et denentier sup´erieur ou ´egal `a 2, entr´ees par l’utilisateur.

Question 2

On se propose d’´etablir la convergence de la suite (un) par l’´etude d’une suite auxiliaire (vn) d´efinie, pour tout entier natureln, par :

vn= 1 2

√un−1

2.a. Montrer que si lim

n→+∞vn= 0, alors lim

n→+∞un= 4.

2.b. V´erifier, pour tout entier natureln:

vn+2= vn+1+vn

2(2 +vn+2). En d´eduire que :|vn+2| ≤ 1

3(|vn+1|+|vn|).

2.c. On note (xn) la suite d´efinie par :x0=|v0|,x1=|v1|et, pour tout entier natureln, x_n+2=1

3x_n+1+1 3x_n

Montrer que, pour tout entier natureln, |vn| ≤x_n et conclure quant `a la convergence de la suite (u_n).

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