SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1
DU RESPE Année 2018-2019
Quantificateurs logiques et rédaction mathématique
1 Rappels de rédaction
Lorsqu’on répond à une question, ou qu’on rédige une démonstration, quelques phrases sont à utiliser de manièresystématique.
1) Pour les démonstrations :
— Pour définirune variable x, on peut utiliser : "Soit x", "On définit x", "Considéronsx"...
— Il faut toujoursêtre très précis : décrivez toujours le cadre dans lequel vous travaillez.
— Lorsque vous faites référence à un autre théorème, il faut le dire ! Par exemple, si on utilise le théorème de Pythagore pour une démonstration, il faudra écrire "par le théorème de Pythagore, on a...". Les résultats que vous utilisez ne sortent pas par magie !
— Pour décrire une implication, un résultat, on écrit "par conséquent", "on a", "on a le résultat suivant", etc...
2) Pour les exercices :
— Indiquez ce que vous chercher dans l’exercice. Par exemple, si on vous demander de calculer le nombre total de grenouilles dans un lac, écrivez : "Nombre total de grenouilles dans le lac". Cela peut paraître un peu excessif au début, mais cela aide le professeur à suivre votre raisonnement !
— Définissez toujours votre variable :"soit x∈R, soitn∈N", etc...
— Citez les théorèmes et résultats que vous connaissez. Par exemple : "D’après le théorème fondamental de l’algèbre", "D’après le premier principe de la thermodynamique", etc...
— Faites toujoursune phrase de conclusion.
— Encadrezles résultats importants.
A retenir : il faut toujours rédiger un exercice ou une démonstration dans le but qu’une personne aveugle puisse tout comprendre. Il faut donc écrire beaucoup, avec des détails, et être très précis ! C’est très agréable à lire pour les professeurs, et cela vous aidera beaucoup.
Maurin Lise 1
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2 Quantificateurs logiques
Référence : "Bien commencer ses études supérieures en mathématiques", Henri Lemberg, édition Vuibert, collection STUDIO SUP, 1997.
2.1 Quantificateurs
Symbole Français Exemple
∀ pour tout ∀x∈R,∀n∈J1,7K
∃ il existe ∃y∈Q
∃! il existe un unique ∃!x∈R, x2 = 0
¬ négation ¬P(x),¬p
∧ conjonction, "et" P(x)∧ Q(x), p ∧q
∩ intersection d’ensemble, "et" ]−5,3]∩]3,4[=∅
∨ disjonction, "ou" P(x)∨ Q(x), p ∨q
∪ union d’ensemble, "ou" {1,2,3} ∪ {6,7,8}={1,2,3,6,7,8}
⇒ implique x2 = 0 ⇒x= 0
⇔ équivalence x2= 2⇔x∈ {−√
2,√ 2}
→ implique (énoncé) "être un nombre premier" →"être divisible par 1"
↔ équivalence (énoncé) "respirer"↔ "être vivant"
2.2 Formules
• On notera P(x) ou Q(x) une formule vérifiée par x. Une formule définit toujours un en- semble.
exemple : P(x) = " x est un enfant". A={x| P(x)} est l’ensemble des enfants.
• On définit le négation d’une formule P(x) qui définit l’ensemble A = {x| P(x)} par a formule "négation" ¬P(x) :
A¯={x| ¬P(x)}
exemple : P(x) = "x >0" donne¬P(x) = "x≤0".
Maurin Lise 2
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• On définit la conjonction de deux formules P(x) etQ(x) définissant respectivementA et B par la formuleP ∧ Q, qui définit l’ensemble :
A∩B ={x|xvérifieP(x) etQ(x)}
exemple : P(x) = " x est un étudiant" etQ(x) =" x est une fille". P(x)∧ Q(x) = " x est une étudiante", etA∩B est l’ensemble des étudiantes.
• On définit ladisjonctionde deux formulesP(x) etQ(x) définissant respectivementAetB par la formuleP ∨ Q, qui définit l’ensemble :
A∪B ={x|xvérifieP(x) ouQ(x)}
exemple : P(n) = "nest un entier naturel divisible par 3 et inférieur à 14" etQ(n) ="nest un entier naturel divisible par 5 et inférieur à 14".P(n)∧ Q(n) = " nest un entier naturel inférieur à 14 divisible par 3ou 5 ", et A∪B ={3,5,6,9,10,12}.
2.3 Énoncés :
• On notera p ou q un énoncé. C’est une phrase, qui peut être soit vraie (V), soit fausse (F).
exemple : q = "Tout réel au carré est positif" est un énoncé, qui a pour valeur V.
exemple : p = "Marseille est la capitale de la France" a pour valeur F.
• On note ¬ p la négation d’un énoncé, p ∧ q la conjonction de deux énoncés, p ∨ q la dis- jonction de deux énoncés.
• On note p→ q lorsque p implique q, et p ↔ q lorsque p est équivalent à q.
exemple : p = "être vivant" et q = "respirer". On a clairement p ↔ q.
exemple : p = "être divisible par 2" et q = "être divisible par 4". On a q→p mais pas l’inverse.
Maurin Lise 3
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DEVOIR MAISON
À rendre pour le jeudi 20 décembredernier délai. L’attention sera portée sur la rédaction.
[Q1] : Traduire en français : " ∀x∈R, x2 ≥0".
[Q2] : Traduire en français : " ∀n∈N,∃m∈N, m=n+ 1 ".
[Q3] : a)Écrire en langage mathématiques la formule suivante : "nest un entier naturel pair".
b) Écrire en langage mathématiques la formule suivante : "nest un entier naturel impair".
Par la suite, on note A l’ensemble des entiers naturels pairs et B l’ensemble des entiers natu- rels impairs.
c) Décrire en français l’ensembleA∩B. d) Décrire en français l’ensembleA∪B.
[Q4] : Écrire en français la négation ¬p de l’énoncé p="être une fille".
[Q5] : a) Décrire en français l’ensembleA={x∈R|x≥3}.
b) Quel est le complémentaire deA={x∈R|x≥3}?
[Q6] : On considère l’énoncé q="À Noël, je mangerai de la dinde ou du poulet". Choisir la négation¬ q parmi les énoncés suivants. Il n’y a qu’une seule bonne réponse.
(A) À Noël, soit je ne mangerai pas de dinde, soit je ne mangerai pas de poulet.
(B) À Noël, je mangerai de la dinde ou du poisson.
(C) Je ne mangerai pas à Noël.
(D) À Noël, je ne mangerai ni de dinde, ni de poulet.
[Q7] : On considère les énoncés p="Dominique est un garçon" et q="Camille est une fille".
Compléter le tableau suivant :
p q p ∧q
V V
V F
V F
F
Maurin Lise 4
