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Soitx >0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Contrôle continu 1 : rattrapage mardi 10 mars 2015

Durée : 25 minutes.La calculatrice de l’Université de Bordeaux est autorisée. Aucun document autorisé.

Exercice 1.

1. Énoncer le théorème des accroissements finis pour une fonctionf définie sur un intervalle[a, b].

2. Soitx >0. Montrer que 1 2√

1 +x ≤

√1 +x−1

x ≤ 1

2. Exercice 2 : DS 2012 (allégé).

1. Donner l’ensemble de définition puis calculer la dérivée d’ordrende la fonctionf(x) = 1 1 +x. 2. Soitx≥0, montrer l’inégalité1−x+x2−x3 ≤f(x)≤1−x+x2− x3

(1 +x)4. 3. À partir de la question 2, trouver un réela(le plus grand possible) tel que l’inégalité

f(x)−(1−x+x2)

≤10−4 soit satisfaite pour toutx∈[0, a].

Correction du CC 1 (rattrapage)

Exercice 1.1) Théorème des accroissements finis : Soitf une fonction continue sur[a;b], dérivable sur]a;b[.

Alors il existec∈]a;b[tel quef(b)−f(a) = (b−a)f0(c).

2) On considère la fonctionf définie sur ]−1; +∞[parf(x) = √

1 +xet dérivable sur]−1; +∞[. Soitx > 0,f est continue sur [0;x], dérivable sur ]0;x[; on déduit du théorème des accroissements finis qu’il existec ∈]0;x[tel que f(x)−f(0) =xf0(c). Comme∀x >−1, f0(x) = 1

2√

1 +x,on a donc√

1 +x−1 =x 1 2√

1 +c. On a 0< c < x⇒1≤1 +c≤1 +x

⇒2≤2√

1 +c≤2√

1 +x car la fonctionx7→√

xest croissante surR+

⇒ 1

2 ≥ 1

2√

1 +c ≥ 1 2√

1 +x car la fonctionx7→ 1

x est décroissante surR+,∗, d’où, pourx >0, x

2√

1 +x ≤√

1 +x−1≤ x 2. Enfin, commex6= 0etx >0, on obtient 1

2√

1 +x ≤

√1 +x−1

x ≤ 1

2. Exercice 2 : DS 2012 (allégé).

1) La fonctionf est définie surR\{−1}. Par quotient, elle est infiniment dérivable surR\{−1}et on a, pourx 6=−1, f(n)(x) = (−1)nn!

(1 +x)n+1.

2) Soitx > 0, la fonctionf est de classeC3 sur[0;x], donc, d’après la formule de Taylor, il existec ∈]0;x[tel que f(x) =f(0) +xf0(0) + x2

2 f00(0) +x3

3!f(3)(c). D’après la question 1, on obtient,f(x) = 1−x+x2− x3 (1 +c)4. Or 0< c < x⇒1<1 +c <1 +x⇒1≤(1 +c)4≤(1 +x)4 car la fonctionx7→x4 est croissante surR+

⇒1≥ 1

(1 +c)4 ≥ 1

(1 +x)4 car la fonctionx7→ 1

x est décroissante surR+,∗

⇒ −x3≤ − x3

(1 +c)4 ≤ − x3

(1 +x)4 (F) carx≥0, d’où 1−x+x2−x3 ≤f(x)≤1−x+x2− x3

(1 +x)4. 3) D’après(F), pourx >0,

f(x)−(1−x+x2)

≤x3. Donc, soita >0, on a, pourx∈[0;a],

f(x)−(1−x+x2)

x3 ≤a3. Donc, on chercheatel quea3= 10−4, d’où a= 10−4/3. Remarque :on peut choisira= 0,046(troncature).

Références

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