Contrôle continu 1 : rattrapage mardi 10 mars 2015
Durée : 25 minutes.La calculatrice de l’Université de Bordeaux est autorisée. Aucun document autorisé.
Exercice 1.
1. Énoncer le théorème des accroissements finis pour une fonctionf définie sur un intervalle[a, b].
2. Soitx >0. Montrer que 1 2√
1 +x ≤
√1 +x−1
x ≤ 1
2. Exercice 2 : DS 2012 (allégé).
1. Donner l’ensemble de définition puis calculer la dérivée d’ordrende la fonctionf(x) = 1 1 +x. 2. Soitx≥0, montrer l’inégalité1−x+x2−x3 ≤f(x)≤1−x+x2− x3
(1 +x)4. 3. À partir de la question 2, trouver un réela(le plus grand possible) tel que l’inégalité
f(x)−(1−x+x2)
≤10−4 soit satisfaite pour toutx∈[0, a].
Correction du CC 1 (rattrapage)
Exercice 1.1) Théorème des accroissements finis : Soitf une fonction continue sur[a;b], dérivable sur]a;b[.
Alors il existec∈]a;b[tel quef(b)−f(a) = (b−a)f0(c).
2) On considère la fonctionf définie sur ]−1; +∞[parf(x) = √
1 +xet dérivable sur]−1; +∞[. Soitx > 0,f est continue sur [0;x], dérivable sur ]0;x[; on déduit du théorème des accroissements finis qu’il existec ∈]0;x[tel que f(x)−f(0) =xf0(c). Comme∀x >−1, f0(x) = 1
2√
1 +x,on a donc√
1 +x−1 =x 1 2√
1 +c. On a 0< c < x⇒1≤1 +c≤1 +x
⇒2≤2√
1 +c≤2√
1 +x car la fonctionx7→√
xest croissante surR+
⇒ 1
2 ≥ 1
2√
1 +c ≥ 1 2√
1 +x car la fonctionx7→ 1
x est décroissante surR+,∗, d’où, pourx >0, x
2√
1 +x ≤√
1 +x−1≤ x 2. Enfin, commex6= 0etx >0, on obtient 1
2√
1 +x ≤
√1 +x−1
x ≤ 1
2. Exercice 2 : DS 2012 (allégé).
1) La fonctionf est définie surR\{−1}. Par quotient, elle est infiniment dérivable surR\{−1}et on a, pourx 6=−1, f(n)(x) = (−1)nn!
(1 +x)n+1.
2) Soitx > 0, la fonctionf est de classeC3 sur[0;x], donc, d’après la formule de Taylor, il existec ∈]0;x[tel que f(x) =f(0) +xf0(0) + x2
2 f00(0) +x3
3!f(3)(c). D’après la question 1, on obtient,f(x) = 1−x+x2− x3 (1 +c)4. Or 0< c < x⇒1<1 +c <1 +x⇒1≤(1 +c)4≤(1 +x)4 car la fonctionx7→x4 est croissante surR+
⇒1≥ 1
(1 +c)4 ≥ 1
(1 +x)4 car la fonctionx7→ 1
x est décroissante surR+,∗
⇒ −x3≤ − x3
(1 +c)4 ≤ − x3
(1 +x)4 (F) carx≥0, d’où 1−x+x2−x3 ≤f(x)≤1−x+x2− x3
(1 +x)4. 3) D’après(F), pourx >0,
f(x)−(1−x+x2)
≤x3. Donc, soita >0, on a, pourx∈[0;a],
f(x)−(1−x+x2)
≤
x3 ≤a3. Donc, on chercheatel quea3= 10−4, d’où a= 10−4/3. Remarque :on peut choisira= 0,046(troncature).