Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires

Equations diff´´ erentielles lin´eaires EquaDiffLin.tex

Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires

1) Equations diff´´ erentielles lin´eaires du premier ordre

On note : t7−→x(t) une fonction d´erivable inconnue de la variable r´eelle t.

On note sa d´eriv´ee t7−→x⁰(t) = dx(t) dt a) Equation sans second membre´

a(t)x⁰(t) +b(t)x(t) = 0 sur I ⊂R (1)

Si les fonctions aetbsont continues sur l’intervale I, et siane s’annule pas sur l’intervalle I. La fonction b

a est donc continue surI et admet une primitiveF surI. F⁰(t) = b(t) a(t) Comme la fonction : t7−→e^F(t) est strictement positive sur l’intervalle I, on peut ´ecrire :

(1) ⇐⇒ a(t)x⁰(t)e^F(t)+b(t)x(t)e^F(t) = 0

⇐⇒ x⁰(t)e^F(t)+ b(t)

a(t) x(t)e^F(t)= 0

⇐⇒ x⁰(t)e^F(t)+F⁰(t)x(t)e^F(t) = 0

⇐⇒ d x(t)e^F(t)

dt = 0

On a donc x(t)e^F(t) =K avec K∈R

La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (1) est x(t) =K e^−F(t) avec K ∈R et F(t) une primitive de b(t)

a(t) sur l’intervale I

b) Equation compl`´ ete

a(t)x⁰(t) +b(t)x(t) =c(t) sur I ⊂R (2)

o`u cest continue sur l’intervale I.

(2) ⇐⇒ a(t)x⁰(t)e^F(t)+b(t)x(t)e^F(t) =c(t)e^F(t)

⇐⇒ d x(t)e^F(t)

dt = c(t) a(t) e^F(t)

On a donc x(t)e^F(t)=G(t) +K avec K ∈R etG qui est une primitive de c(t) a(t) e^F(t) c’est `a dire que G⁰(t) = c(t)

a(t) e^F(t)

La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (2) est alors x(t) =K e^−F(t)+G(t)e^−F(t) Conclusion La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (2) sur un intervalleI ⊂Rest la somme :

– de K e^−F(t) la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre (1) – et de G(t)e^−F(t) une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete (2)

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♠ 1 L^ATEX 2ε

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2) Equations diff´´ erentielles lin´eaires du second ordre

On se limitera aux ´equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coefficients constants.

a∈R^∗ b∈R c∈R ou a∈C^∗ b∈C c∈C

On note : t7−→x(t) une fonction deux fois d´erivable inconnue de la variable r´eelle t.

On note ses d´eriv´ees : t7−→x⁰(t) = dx(t)

dt et t7−→x⁰⁰(t) = d²x(t) dt²

a) Equation sans second membre´

a x⁰⁰(t) +b x(t) +c x(t) = 0 sur I ⊂R (3)

On recherche alors des solutions de la forme t7−→e^{r t} On constate, apr`es le changement de variable x(t) =e^{r t}

(3) ⇐⇒ a r²e^{r t}+b r e^{r t}+c= 0

⇐⇒ a r²+b r+c= 0

⇐⇒ (4)

qu’il suffit de r´esoudre de l’´equation (4) appel´ee ´equation caract´eristique

a r²+b r+c= 0 (4)

Si ∆ est le d´eterminant de l’´equation caract´eristique, on a, selon les cas

Equation caract´´ eristique (4) Equation diff´´ erentielle (3)

∆>0 solutions r´eelles distinctesr₁6=r₂ x(t) =λ e^r1t+µ e^r2t

∆ = 0 solution r´eelle doubler₀ x(t) = (λ t+µ)e^r0t

∆<0 solutions complexes conjugu´ees r₁ =α+iβ

r₂ =α−iβ x(t) =e^{α t}

λ cos(β t) +µ sin(β t)

b) Equation compl`´ ete

a x⁰⁰(t) +b x(t) +c x(t) =f(t) sur I ⊂R (5) Il faut d’abord recheercher une solution particuli`ere de (5) l’´equation compl`ete.

Conclusion La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (5) sur un intervalleI ⊂Rest la somme : – de la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre (3)

– et d’une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete (5)

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