Contrôle Commun de Mathématiques n 2 du samedi 23 janvier 2021 Classe de 2 nde sujet B - Durée 2h30 - Calculatrice autorisée.

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B2C - Classes de seconde CC2 du samedi 23 janvier 2021 – sujet B page 1

Contrôle Commun de Mathématiques n° 2 du samedi 23 janvier 2021 Classe de 2^nde – sujet B - Durée 2h30 - Calculatrice autorisée.

Exercice 1 : (4 points – durée estimée 25 minutes)

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 4(𝑥 − 1)²− 9 et 𝐶_𝑓 sa courbe représentative dans un repère.

1) Déterminer la forme développée de la fonction 𝑓(𝑥) 2) Déterminer la forme factorisée de la fonction 𝑓(𝑥) 3) En utilisant la forme la plus adaptée,

a) Déterminer l’image par 𝑓 𝑑𝑒 √2

b) Déterminer le (ou les) antécédent(s) de - 9 par 𝑓

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative 𝐶_𝑓 et de l’axe des ordonnées. On notera A ce point.

d) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative 𝐶_𝑓 et de l’axe des abscisses. On notera B et C ces points.

4) La fonction 𝑓 est décroissante sur ]−∞; 1], croissante sur [1; +∞[ et admet un extremum en 1. Sans justification, dresser son tableau de variations. Préciser la nature et la valeur de cet extremum.

5) Compléter le tableau de valeurs suivant :

𝑥 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

𝑓(𝑥)

6) Tracer 𝐶𝑓 dans le repère ci-dessous et faire apparaitre les points A, B et C.

7) a) Déterminer l’équation qu’il faut résoudre pour chercher les antécédents de -5 par 𝑓.

b) Résoudre cette équation et vérifier les résultats sur le graphique.

(2)

Exercice 2 : (1,5 points – durée estimée 15 minutes)

On considère la fonction ^{g x}

( )

^{= −}^x définie sur et sa courbe représentative C_g et la fonction

( )

3 f x x

x

= −

− définie sur

 

³

− et sa courbe représentative C_f

1) Résoudre graphiquement l’équation ^{f x}

( )

^{= −}²

( )

⁼^{g x}

( )

3) Résoudre graphiquement l’inéquation ^{f x}

( )

^^{g x}

( )

Exercice 3 : (1 point – durée estimée 10 minutes)

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

( )

^{5 2}₂

7 f x x

x x

= −

− et ^{g x}

( )

⁼ ⁷⁻^x

Exercice 4 : (3 ,5 points – durée estimée 20 minutes) Résoudre dans ℝ l’inéquation et les 3 équations suivantes :

( )

₁ ^:² ¹ ³ ¹ ³ ²

4 4 2

x x

I + −  − −

( ) (

^E₁ ^: ^x⁻^{4 1 2}

)(

⁻ ^x

) (

^{= − +}³ ^x

)(

⁶^x⁻³

) ( )

2

5 3

: 4 1

x x

E x x

− = +

+ −

( )

3 2 ²

36 4

: 0

9 6 1

E x

x x

− =

− +

Exercice 5 : (2,25 points – durée estimée 15 minutes) On considère les points suivants :

1) Compléter les égalités suivantes : ...

AB HI+ = AB IG+ =... 2AB+...=EH FC+AB+...=DH 2) Placer sur la figure, sans aucune justification, les points R et T définis par ¹

RA=4FI et 2

TA− CH=BA

3) Soit S le point qui vérifie HS+3DS=0. Exprimer HS en fonction de HD. Puis placer S.

Exercice 6 : (1 point – durée estimée 10 minutes)

On considère l’algorithme suivant que l’on ne cherchera pas à rentrer dans sa calculatrice.

Quel résultat affiche en sortie cet algorithme lorsqu’on entre le nombre 20 ? ………

Quel résultat affiche en sortie cet algorithme lorsqu’on entre le nombre 41 ? ………

(3)

Exercice 7 : (2,25 points – durée estimée 20 minutes) On considère les points A, B et D suivants :

Exercice 8 : (2 points – durée estimée 20 minutes)

Dans (O ;i,j)

repère orthonormé du plan, on considère les points ^A

(

^{− −}^{3; 1 ;}

)

^B

(

^{1; 3 ;}⁻

)

^D

(

⁻^1;3

)

On pourra s’aider d’une figure, mais elle n’est pas à rendre.

Toutes les réponses seront justifiées.

1) Déterminer les coordonnées du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

2) Déterminer les coordonnées du point E tel que AD= −3EB.

3) Déterminer les coordonnées du point G image du point D dans la translation de vecteur BA. 4) Calculer les normes des vecteurs AD et AB. Peut-on conclure sur la nature du

parallélogramme ABCD ?

1) Construire le point C tel que AB+AD=AC

2) Construire le point E tel que AD=EB 3) Démontrer que AD=BC

4) En déduire que BE+BC=0

5) Construire le point G image de D par la translation de vecteur BA.

6) Déterminer la nature du quadrilatère ABDG. Justifier.

(4)

Exercice 9 (3,25 points– durée estimée 15 minutes) :

Vrai-Faux – Vous répondrez par « vrai » ou par « faux » dans la dernière colonne.

A, B et I sont trois points tels que : AI=IB Votre réponse a) AI et IB sont opposés. Est une affirmation vraie ou fausse ?

b) AI =2BA Est une affirmation vraie ou fausse ?

c) AI=IB Est une affirmation vraie ou fausse ?

d) I milieu de

 

^AB Est une affirmation vraie ou fausse ?

3 u 12

− 

  et ³ v12− 

 

 

a) Ces vecteurs sont opposés. Est une affirmation vraie ou fausse ? b) Ces vecteurs ont la même

direction.

Est une affirmation vraie ou fausse ? c) Ces vecteurs ont la même norme. Est une affirmation vraie ou fausse ?

D est l’image de ^C

( )

^6;9 par la translation de vecteur ⁴ r 5

− 

  a) ^D

(

^{10; 4}

)

Est une affirmation vraie ou fausse ? b) Les vecteurs CD et r ont les

mêmes coordonnées.

Est une affirmation vraie ou fausse ?

c) DC=r Est une affirmation vraie ou fausse ?

d) C est l’image de D par la translation de vecteur ⁴

t5− 

 

 

Est une affirmation vraie ou fausse ?

x -4 -1 8

Variations de f

5

a) Sans justifier, comparer ^f

( )

⁻³ ^et ^f

( )

⁻²

b) Soit a et b deux réels tels que −   1 a b 8, sans justifier comparer ^{f a}

( )

^et ^{f b}

( )

(5)

Correction du Contrôle Commun de Mathématiques n° 2 du samedi 23 janvier 2021 – sujet B Exercice 1 : On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 4(𝑥 − 1)²− 9 et 𝐶_𝑓 sa courbe

représentative dans un repère.

1) Déterminer la forme développée de la fonction 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = 4(𝑥²− 2𝑥 + 1) − 9 𝑓(𝑥) = 4𝑥²− 8𝑥 − 5 2) Déterminer la forme factorisée de la fonction 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = 4(𝑥 − 1)² − 9 𝑓(𝑥) = [2(𝑥 − 1)]²− 3²

𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 2 − 3)(2𝑥 − 2 + 3) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)(2𝑥 + 1) 3) En utilisant la forme la plus adaptée,

a) On calcule l’image de √2 par 𝑓 à l’aide de la forme développée : 𝑓(√2) = 4(√2)²− 8√2 − 5 𝑓(√2) = 3 − 8√2

b) On détermine le ou les antécédents de −9 par 𝑓 à l’aide de la forme canonique. Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = −9 revient à résoudre les équations équivalentes suivantes :

4(𝑥 − 1)²− 9 = −9 4(𝑥 − 1)² = 0 (𝑥 − 1)² = 0 𝑥 = 1 L’antécédent de −9 par 𝑓 est 1

c) Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection de 𝐶𝑓 avec l’axe des ordonnées on calcule l’image de 0 par 𝑓 : 𝑓(0) = −5. D’où 𝐴(0 ; −5)

d) Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de 𝐶𝑓 avec l’axe des abscisses on résout l’équation 𝑓(𝑥) = 0. On utilise la forme factorisée. Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0 revient à résoudre les équations équivalentes suivantes :

(2𝑥 − 5)(2𝑥 + 1) = 0 2𝑥 − 5 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 + 1 = 0 𝑥 =⁵

2 𝑜𝑢 𝑥 = −¹

2 D^′où 𝐵 (−¹

2; 0) et 𝐶(⁵

2; 0) 4) Tableau de variations de la fonction 𝑓 :

𝑓 admet un minimum en 1 qui vaut −9.

5) Tableau de valeurs :

𝑥 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

𝑓(𝑥) 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 6) Représentation graphique de 𝑓

7) a) Pour déterminer les antécédents de −5 , on résout l’équation 𝑓(𝑥) = −5.

b) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = −5 revient à résoudre les équations équivalentes suivantes, à l’aide de la forme développée

4𝑥² − 8𝑥 − 5 = −5 4𝑥(𝑥 − 2) = 0 4𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 Les antécédents de −5 sont 0 et 2.

(6)

Exercice 2 : On considère la fonction ^{g x}

( )

^{= −}^x définie sur et sa courbe représentative C_g et la fonction

( )

3 f x x

x

= −

− définie sur

 

³

− et sa courbe représentative C_f

( )

^{= −}²^{revient à}

chercher les antécédents de -2 par f. Graphiquement on lit, 6

x= ^S⁼

 

⁶

( )

⁼^{g x}

( )

revient à chercher les abscisses des points d’intersection des deux courbes C_f et C_g.

Graphiquement on lit, x=0 et x=4^S ⁼

 

^{0; 4}

3) Résoudre graphiquement l’inéquation ^{f x}

( )

^^{g x}

( )

revient à chercher les abscisses des points de Cf qui sont situés au-dessus ou sur C_g. Graphiquement on lit, ^x^

  

^0;3 ^ ^3;^+



^S⁼

  

^0;3 ^{ +}^3;



Exercice 3 : Les ensembles de définition sont Df = −



^;5



et Dg = −

 

^0;8

Exercice 4 : Résoudre dans ℝ l’inéquation et les 3 équations suivantes :

( )

1

( )

1

( )

1

2 1 1 3 2

: 3 : 2 1 12 1 6 4 : 2

4 4 2

x x

I + −  − −  I x+ −  − x+  I x ^S⁼



^2;^+



( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

: 4 1 2 5 6 3 : 4 1 2 5 3 2 1 0

: 1 2 4 5 3 0 : 1 2 4

E x x x x E x x x x

E x x x

E x x

+ − = − + −  + − − − + − − + =

 −  + − − + − =

 −

(

⁻¹¹

)

⁼⁰

^{1 11}; S= 2 4

 

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2

5 3

: : 5 1 4 3

4 1

: 6 5 7 12 : 7

13

x x

E E x x x x

x x

E x x

E x

− +

=  − − = + +

+ −

 − + = +

 =−

^D^{= − −}



^4;1



⁷

S = − 13

 

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

2

3 2 2 2

6 2 6 2 4 3 1 3 1

36 4

: 0 0 0

9 6 1 3 1 3 1

x x x x

E x

x x x x

− + − +

− =  =  =

− + − − ¹

D= −   3

  ¹

S =  −3 

 

Exercice 5 :

1) Compléter les égalités suivantes : AB+HI = AH AB+IG=0

2AB+ED=EH FC+AB DF+ =DH 2) Placer les points R et T définis par ¹

RA=4FI et TA−2CH =BATA BA− =2CH TB=2CH

Soit S le point qui vérifie ^HS⁺³^DS^{= }⁰ ^HS⁺³

(

^DH⁺^HS

)

^{= }⁰ ^HS ⁼³₄^HD

(7)

Exercice 6 : Lorsqu’on entre le nombre 20, l’algorithme affiche en sortie p=4 Lorsqu’on entre le nombre 41, l’algorithme affiche en sortie p=7, 4

Exercice 7 : On considère les points A, B et D suivants : 3) On sait que AB+AD=AC donc AD AC AB

AD AC BA BC

= −

= + =

4) On sait que AD=EB=BC donc EB=BC qui donne 0

BC+BE=

5) Le point G est l’image de D par la translation de vecteurBA signifie que DG=BA

6) On sait que AB+AD=ACdonc AD=BCdonc ABCD est un parallélogramme.

Exercice 8 : Dans (O ;i,j)

repère orthonormé du plan, on considère les points

(

^{3; 1 ;}

) (

^{1; 3 ;}

) (

^1;3

)

A − − B − D −

1) ABCD soit un parallélogramme si et seulement si AB=DC or ⁴ AB 2

− 

  et 1 3

C C

DC x y

 + 

 − 

 . On a donc à

résoudre le système : 1 4 3

3 2 1

C C

x x

y y

+ = =

 

 − = −  =

  . Les coordonnées de C sont C 3;1

( )

2) Déterminons les coordonnées du point E tel que AD= −3EB. ² AD 4

   et 1 3

E E

EB x

y

 − 

− − 

 

( )

5

2 3 1 3

3 4 3 3 5

3

E E

x x

AD EB

y y

 =

= − − 

 

= −  = − − −  = −



Les coordonnées de E sont ⁵; ⁵

3 3

E − 

3) G image de B dans la translation de vecteur DA signifie que ¹ ² ¹

3 4 7

G G

x x

BG DA

y y

− − = −

    

=  +  =−   = −

(

^{1; 7}

)

G −

4) Calcul des normes des vecteurs AD et AB. ⁴ AB 2

− 

  donc 2 5

AB = 2

AD 4

  et donc AD =2 5. On peut conclure que le parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, c’est donc un losange.

On pourrait vérifier avec le théorème de Pythagore que

2 2 2

AB +BC =AC et donc dire que le losange est en fait un carré.

(8)

Exercice 9 : Vrai-Faux

A, B et I sont trois points tels que : AI=IB

a) AI et IB sont opposés. Est une affirmation fausse

b) AI =2BA Est une affirmation fausse

c) AI=IB Est une affirmation vraie

d) I milieu de

 

^AB Est une affirmation vraie

3 u 12

− 

  et ³ v12− 

 

 

a) Ces vecteurs sont opposés. Est une affirmation vraie

b) Ces vecteurs ont la même direction. Est une affirmation vraie c) Ces vecteurs ont la même norme. Est une affirmation vraie

D est l’image de ^C

( )

^6;9 par la translation de vecteur ⁴ r 5

− 

 

a) ^D

(

^{10; 4}

)

Est une affirmation vraie

b) Les vecteurs CD et r ont les mêmes coordonnées. Est une affirmation vraie

c) DC=r Est une affirmation fausse

d) C est l’image de D par la translation de vecteur ⁴ t5− 

 

 

Est une affirmation vraie x -4 -1 8

Variations de f

5

a) Sans justifier, comparer ^f

( )

⁻² ^et ^f

( )

⁻³ ^f

( )

^{− }³ ^f

( )

⁻²

b) Soit a et b deux réels tels que −   1 a b 8, sans justifier

comparer ^{f a}

( )

^et ^{f b}

( )

^{f a}

( )

^ ^{f b}