1S:Dc 3 Dérivation et trigonométrie 2014-2015
Devoir commun de mathématiques n˚3 - classe de 1ère S - Durée 2 heures.
Barème sur 40 points.
Calculatrice autorisée.
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EXERCICE 1 (sur 8 points)
Les questions qui suivent sont indépendantes.
1. Donner la mesure principale de−127π 6 ;
• • 2. (a) Résoudre dansRl’équation (2X−√
3)(X−1) = 0 ; (b) En déduire les solutions de
(2 cos(x)−√3)(cos(x)−1) = 0 dans l’intervalle [0; 2π].
• • 3. Démontrer que, pour toutxréel,
sin(x)−cosπ 2 −x
+ cos(x)−sinπ 2 −x
= 0
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4. Reproduire le cercle trigonométrique et y représenter un arc de cercle correspondant aux pointsM tels que sin(x)>
√3
2 etx= (−→i;−−→OM) (2π).
~i
~j
O I
Résoudre dans [0; 2π] l’inéquation
2√3 sin(x)−3>0.
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EXERCICE 2 (sur 7 points)
On a tracé ci-dessous la courbe représentativeC d’une fonctionf définie surRainsi qu’une de ses tangentes. On sait que :
• le pointA(−2; 4) est le sommet deC;
• la tangente àC au pointB(2; 0) passe par le pointC(0; 6) ;
• B est le seul point d’intersection deC avec l’axe des abscisses.
1. Donner, sans justifier,f(−2) etf(2).
2. Donner, sans justifier,f′(−2) etf′(2).
3. Chacune des réponses aux questions suivantes devra être justifiée par des arguments graphiques.
Parmi les quatre courbes proposées ci-dessous déterminer celle qui représente : (a) f′, la fonction dérivée def
(b) une fonctiong telle queg′=f
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EXERCICE 3 (sur 10 points)
1. Soit la fonction
f : [0,6]−→R x 7−→ 24
x2+ 4 (a) Calculerf(1,5), puisf(4).
(b) Étudier les variations def sur [0,6].
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2. Soit C la courbe représentative de f, M un point variable de cette courbe et H le projeté orthogonal deM sur l’axe des abscisses.
On appellexl’abscisse du pointM.
Le but de cet exercice est de s’intéresser à l’aireA(x) du triangleOM H qui varie en fonction de x.
(a) Calculer l’aire du triangle OM H pour x = 1,5 et pour x = 4.
(voir dessins ci-contre)
(b) Expliquer pourquoiA(x) = 12x x2+ 4.
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3. Existe-t-il une position du point M pour laquelle l’aire du triangle OM H est maximale ?
(L’étude des variations de la fonction A sur l’intervalle [0; 6] est vive- ment conseillée)
x= 1,5
0 y
x 1
M
H
C 1
O bc bc
bc
x= 4
0 y
x
1 M
H C 1
O bc bc
bc
EXERCICE 4 (sur 7 points)
Sur la figure ci-contre, le triangleABC est rectangle isocèle direct enB et les trianglesACM etAN B sont équilatéraux directs.
Déterminer la mesure principale des angles : 1. (−−→BC;−→AC)
2. (−−→
AN;−→AC) 3. (−−→M A;−−→M B) 4. (−−→AN;−−→M A) 5. (−−→AM;−−→CB)
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B A
C M
N
bc bc
bc
bc bc
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EXERCICE 5 (sur 8 points)
On considère la fonction
g: [−4; 2]−→R x 7−→ −3x3−9
2x2+ 18x+ 3 1. Étude de g.
(a) Après avoir rapidement justifié la dérivabilité deg, donner l’expression deg′(x) pour tout [−4; 2].
(b) En déduire les variations deg sur [−4; 2]. (vous dresserez le tableau de variations de g)
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2. Équation g(x) = 0.
Donner le nombre de solutions de l’équationg(x) = 0 ainsi qu’un encadrement par des entiers relatifs de leur valeur. (vous justifierez votre réponse)
• • 3. Tangentes à Cg.
Soitkun nombre strictement inférieur à 81 4 .
(a) Prouver que l’équationg′(x) =kadmet exactement deux solutions dansR.
(b) Prouver qu’il existe toujours deux points deCg en lesquels les tangentes sont parallèles.
(toute trace de recherche sera valorisée)
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