Devoir de contrôle N°1 Durée :2 heures 3

1 Lycée Bachir Sfar Amdoun Prof :Ghomriani Béchir Le 11/11/2015 Devoir de contrôle N°1

Durée :2 heures 3

Math

Exercice N°1 :  ^{3 pts} 

On considère la fonction f définie sur ^{IR \ 2}   ^par

2

4

2 2

( ) 2

2 2 2 x si x f x x

x si x x

  

      

  



1. Déterminer

lim ( )

x _

f x



2. Déterminer

lim ( )

f x



3. La fonction f admet-elle une limite en 2 ? Exercice N°2 :  ^{7 pts} 

I Soit la fonction f définie sur par : 1 4 1

( ) x

f x x

 



1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f 2. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0

II soit la fonction g définie sur 1 4 ;

   

 

  ^{par :}

1 4 1

( ) 0

2 0

x si x

g x x

si x

 

 



  



 1. Montrer que g est continue sur 1

4 ;

   

 

 

2. Montrer que l’équation g x ( )   x 0 admet au moins une solution dans   ^1;2

3. Montrer que 4

( ) 1 4 1

g x  x

  pour tout 1

4 ;

x          4.

a. Montrer que 1 ( )

g  4 est un maximum de g sur 1 4 ;

   

 

  b. En déduire que g est bornée sur 1

4 ;

   

 

 

5.

a. Montrer que g est décroissante sur 1 4 ;

   

 

 

b. Déterminer ^g    ^{0, 6} 

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Math

Exercice N°3 :  ^{7 pts} 

Soit ABC un triangle tel que AB  6 ; AC  8 et ˆ

CAB _  3

1.

a. Vérifier que AC AB .  24 b. En déduire que BC  2 13

2. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite   ^AC

a. Montrer que HA  3 et vérifier que H est le barycentre des points pondérés  ^{A ,5}   ^{et C ,3} 

b. Montrer que pour tout point M du plan on a :

2 2 2

5 MA  3 MC  8 MH  120

3. Déterminer l’ensemble  ^ _ M P MA ;5 ² 3 MC ² 336 ^ _

 

   

et vérifier que B  

4. Soit les points ^I le milieu de   ^{AC et E} définie par : 3 BE  4 BC a. Montrer que BC AB .   12 (indication :1.a.)

b. Montrer que BC BE .  39 ; CI AB .   12 et CI BE .   15 c. En déduire que les droites   ^{BI et}   ^AE sont perpendiculaires.

Exercice N°4 :  ^3pts 

Soit OBSA un parallélogramme.  un cercle de centre I de diamètre  ^{OO '}  ^.

La droite   ^OB recoupe le cercle  en B ' . La droite   ^OS recoupe le cercle  en S ' . La droite   ^OA recoupe le cercle  en A ' .

1.

a. Montrer que OS OS . '  OS OO . ' b. Montrer que OB OB . '  OB OO . '

2. En déduire que OS OS . '  OB OB . '  OA OA . '

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