Devoir commun de mathématiques – Secondes Lundi 31 janvier 2011
Durée : 1 h 50 min - calculatrice autorisée
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Pensez à remettre le sujet avec votre copie.
Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte ( 2 points sur 40 ).
Les 4 exercices sont indépendants.
EXERCICE 1 (7 points – 20 minutes environ)
Soit f et g deux fonctions définies sur [-2 ; 3] et dont les courbes représentatives sont données ci-dessous.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction g sur [-2 ; 3].
2. Répondre à toutes les questions suivantes, sans justifier, en faisant des lectures graphiques.
a) Déterminer l'image de –2 par f.
b) Déterminer les éventuels antécédents de –3 par f .
c) Donner les coordonnées des points d'intersection de Cg avec l'axe des abscisses.
d) Trouver l'ensemble des solutions de l'équation gx=–3 . e) Trouver l'ensemble des solutions de l'inéquation f xgx. f) Trouver l'ensemble des solutions de l'équation f x×gx=0.
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EXERCICE 2 (8 points – 20 minutes environ)
On se place dans un repère (O,I,J) orthonormé.
On considère les points : A5 ;1 , B–1 ;3 et C1 ;–3.
On appelle M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC].
1. a. Calculer la longueur AB.
b. Montrer que le triangle ABC est isocèle.
2. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
3. Soit E le symétrique de C par rapport à M.
Quelle est la nature du quadrilatère ACBE ? Justifier.
4. La droite (CE) coupe la droite (BN) en P.
Démontrer que la droite (AP) coupe le segment [BC] en son milieu.
EXERCICE 3 (13 points – 40 minutes environ)
On considère la fonction h définie sur [-2 ; 2,5 ] par hx=−2x22x4 (forme 1) 1. Représentation graphique de la fonction h.
a) Sur la feuille annexe, compléter le tableau de valeurs de la fonction h.
b) Construire sur la feuille annexe la courbe Ch représentative de la fonction h . 2. Montrer que hx=2x12−x pour tout nombre x. (forme 2)
3. Montrer que hx=−2
x−12
292 pour tout nombre x. (forme 3)4. En utilisant la forme la mieux adaptée de l'expression hx (forme 1, 2 ou 3)
déterminer par le calcul : a) L'image de 0 , 1
2 , −1 et 3, b) les éventuels antécédents de 4 , 9
2 ,et 0,
c) BONUS : déterminer par le calcul les éventuels antécédents de 5.
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5. Soit la fonction r définie sur [-2 ; 2,5 ] par rx=2x –2.
a) Construire dans le même repère qu'à la question 1. la courbe Cr représentative de la fonction r. Aucun détail de calcul n'est demandé. b) Résoudre graphiquement l'équation hx=rx.
c) Résoudre par le calcul l'équation hx=rx.
EXERCICE 4 (10 points – 30 minutes environ)
Répondre à chacune des questions suivantes par VRAI ou FAUX, en justifiant.
Les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte.
Toute méthode de justification sera acceptée.
1. La fonction f définie par f x=−2x22 est une fonction affine.
2. La fonction affine f définie par f x=3x1
2 est représentée par une droite (d) dont l'ordonnée à l'origine est 0,5.
3. Le point A(-3;2) appartient à la droite (d) qui représente la fonction f :x−2x8.
4. Si une fonction affine g:xa xb vérifie g3=2 et g−2=1 , alors a=1. 5. Le nombre −3 appartient à l'ensemble des solutions de l'équation
x23x15=0.
6. x∈]−2;7] équivaut à −2x7 . 7. −1,999999999999∈]−2;0]
8. −3x27 équivaut à x−5 3
9. Si f est une fonction strictement décroissante sur [-5 ; 1] alors f(-3) < f(-2).
10.Si x∈[2;4] alors x∈ℕ.
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Annexe de l'exercice 3
Tableau de valeurs de la fonction h :
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
h(x)
Représentations graphiques :
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