Fonctions de la variable complexe

(1)

le 13 D´ecembre 2009 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Fonctions d’une variable complexe

1 G´ en´ eralit´ es.

D´efinition 1.1 On appellefonction d’une variable complexe une applicationf deC dans C :

f : Df ⊂C −→ C

z 7→ Z =f(z)

Exemples 1.2 i) ∑

zⁿ est une fonction complexe d´efinie sur D(0,1) ={z ∈C,|z| <1}. Elle v´erifie sur cet ouvert ∑

zⁿ= ₁₋¹_z. ₁₋¹_z est une fonction complexe sur C− {1}. ii) ∑_zⁿ

n! =:e^z est une fonction complexe d´efinie sur C.

iii)f(z) = _1+z^z2 est une fonction complexe d´efinie surC−{i,−i}. Elle v´erifie∀z ∈D(0,1), f(z) =

∑(−1)ⁿ.z²ⁿ⁺¹.

Exercice 1.3

Soit l’application f d´efinie par f(z) = ^z_z⁻₋⁴₁. 1) Calculer f(i.√

2). D´eterminer sa partie r´eelle et imaginaire.

2) D´emontrer que f admet deux points invariants a et b (On notera a celui de partie r´eelle positive).

3) Donner une interprétation géométrique de |z−4|, |z−1| et |f(z)|. En déduire l’ensemble D des points z tels que |f(z)|= 1.

4) On pose z =x+iy et f(z) =X+iY avec x, y, X, Y r´eels.

a - D´eterminer X et Y en fonction de x, y.

b - D´eterminer l’ensemble E des points z tels que f(z) soit r´eel.

c - D´eterminer l’ensemble F des points z tels que f(z) soit imaginaire pur.

D´efinition 1.4 Soit f une fonction complexe d´efinie sur D. Soit z₀ ∈D¯. On dit que f admet une limite l en z0 ssi

∀ϵ >0,∃α >0,∀z ∈ D(|z−z₀|< α=⇒ |f(z)−l|< ϵ).

(2)

Ce qui ´equivaut `a

zlim→z0

P(z) =Re(l) et lim

z→z0

Q(z) =Im(l)

o`u f(z) =P(z) +iQ(z).

D´efinition 1.5 Soit f une fonction complexe d´efinie sur D. Soit z₀ ∈ D. On dit que f est continue en z₀ ssi

zlim→z0

f(z) = f(z₀).

Remarque 1.6 Les propriétés de la limite et de la continuité sont les mêmes que pour les fonctions réelles.

2 Fonctions holomorphes.

Définition 2.1 Soit f une fonction complexe définie sur D.Soit z₀ ∈ D. f est dite dérivable en z0 ssi ^f^(z)_z⁻₋^f(z_z ⁰⁾

0 admet une limite quand z tend vers z0. Cette limite est appelée dérivée de f en z₀ et notée f^′(z₀).

Soit U ⊂ C, U ouvert, on dit que f est holomorphe sur U si f est d´erivable en tout point de U.

Remarque 2.2 1) La dérivabilité complexe est linéaire.

2) On montre de la mˆeme fa¸con que pour les fonctions r´eelles, (uv)^′ =u^′v+uv^′ , (1

u)^′ = u^′

u² et u◦v =v^′.u^′◦v.

Conditions de Cauchy.

Proposition 2.3 Soit f une fonction complexe. Si f(z) = f(x+iy) =P(x, y) +i.Q(x, t) est d´erivable en z0 =x0+i.y0 alors

{ ∂P

∂x(x₀, y₀) = ^∂Q_∂y(x₀, y₀)

∂P

∂y(x0, y0) = −^∂Q_∂x(x0, y0) et

f^′(z₀) = ∂P

∂x(x₀, y₀) +i.∂Q

∂x(x₀, y₀) = ∂Q

∂y(x₀, y₀)−i.∂P

∂y(x₀, y₀).

(3)

Preuve.

Supposons f d´erivable en z₀. On a

f(z)−f(z0) = (z−z0).(f^′(z0) +ϵ(z))

donc P(x, y)−P(x₀, y₀) = (x−x₀)(A+α(z))−(y−y₀)(B +β(z)) et Q(x, y)−Q(x₀, y₀) = (y−y₀)(B +β(z)) + (y−y₀)(B +β(z)) o`u f^′(z₀) =A+iB et ϵ=α+iβ.

En posant alors y=y0 (dérivée suivant l’axe des x), puis x=x0 (dérivée suivant l’axe des y), on obtientA = ^∂P_∂x(x₀, y₀) = ^∂Q_∂y(x₀, y₀) et B = ^∂Q_∂x(x₀, y₀) =−^∂P_∂y(x₀, y₀).

CQFD

Le résultat précédent admet la réciproque :

Proposition 2.4 Soit f une fonction complexe (f(z) = P(x, y) +i.Q(x, y)). Si il existe U ouvert contenant z0 =x0+iy0 tel que P et Q sont C¹ sur U et

{ ∂P

∂x(x₀, y₀) = ^∂Q_∂y(x₀, y₀)

∂P

∂y(x0, y0) = −^∂Q_∂x(x0, y0) Alors f(z) est d´erivable en z₀.

Preuve.

Théorème des accroissements finis autour de (x₀, y₀) appliqué aux deux fonctions P etQ, puis passage à la limite.

CQFD

Ce qui nous donne le

Th´eor`eme 2.5 (Conditions de Cauchy)

Soit f une fonction complexe. f(z) = f(x+iy) = P(x, y) + i.Q(x, y) est holomorphe sur U ouvert si et seulement si P, Q C¹ sur U et

{ ∂P

∂x = ^∂Q_∂y

∂P

∂y = −^∂Q_∂x Preuve.

Provient des 2 propositions ci-dessus.

CQFD

Exemples 2.6 f(z) = ¹_z,g(z) = x+y−1 +i(x−y+ 2),h(z) =y²−x² +i(y²−2x),k(z) = x²−y²+ 2ixy.

(4)

3 Fonctions analytiques.

D´efinition 3.1 Soit f une fonction complexe d´efinie sur un ouvert U.

On dit que f estanalytique sur U ssi en tout point z ∈U,f est développable en série entière sur un disque D(z, r) (r >0).

Remarque 3.2 Une fonction analytique sur U (ouvert) est holomorphe sur U (ainsi que toutes ces d´eriv´ees successives).

Exemples 3.3 i) ¹_z est analytique sur R^∗.

ii) Toute série entière de rayon de convergence non nul définit sur son disque de convergence (ouvert) une fonction analytique. Ce n’est pas trivial, car une série entière est à priori un développement au voisinage d’un seul point.

Preuve.

1- dans le cas o`u ^aⁿ⁺¹_a

n a une limite en +∞. f(z) = ∑

n≥0a_nzⁿ convergeant en z₀. Montrons que f admet un développement en série entière en z₀ :

f(z) = ∑

n≥0a_n(z₀−(z₀−z)ⁿ) = ∑

n≥0a_n∑_n

k=0C_n^kzⁿ₀⁻^k.(z₀−z)^k =∑₊_∞

m=0(∑₊_∞

p=ma_p.C_p^m.z₀^p⁻^m).(z₀− z)^m avec ∑+∞

p=map.C_p^m.z₀^p⁻^m qui converge puisque ^a^p+1^.C

p+1m

ap.C_p^m ∼ â^p+1_a_p . 2- Dans le cas général, majorer ∑₊_∞

p=ma_p.C_p^m.z₀^p⁻^m. CQFD

Théorème 3.4 Soit f une fonction complexe définie sur un ouvert U. f holomorphe sur U ⇐⇒f analytique sur U.

Preuve.

Admis CQFD

Z´ eros isol´ es.

Proposition 3.5 Soit f une fonction analytique sur U (ouvert).

Si f(z0) = 0 et ∀r > 0,∃z ∈ D(z0, r)/f(z) ̸= 0 alors z0 est un z´ero isol´e (i.e. ∃r > 0,∀z ∈ D(z₀, r)− {z₀}, f(z)̸= 0).

Preuve.

Sur D(z₀, r), on a f(z) = ∑

a_n(z−z₀)ⁿ = (z−z₀)^k.∑

n≥0a_n+k(z−z₀)ⁿ avec a_k ̸= 0 sinon la fonction serait nulle sur le disque (k est alors la multiplicit´e du 0 def).

Or g(z) = ∑

n≥0a_n+k(z−z₀)ⁿ est continue donc ∃r^′ > 0/∀z ∈ D(z₀, r^′), g(z) ̸= 0 donc ∀z ∈ D(z₀, r^′)− {z₀}, f(z) = (z−z₀)^k.g(z)̸= 0.

CQFD

(5)

Proposition 3.6 (z´eros isol´es)

Soit f une fonction analytique sur U (ouvert connexe = ”U ne peut pas s’´ecrire comme la r´eunion de deux ouverts non-vides disjoints”).

Si f n’est pas la fonction nulle sur U alors tous ses 0 sont isol´es (i.e. si f(z₀) = 0 alors

∃r >0,∀z ∈D(z₀, r)− {z₀}, f(z)̸= 0).

Preuve.

Soit f une fonction analytique non nulle sur un ouvertU s’annulant enz₀.

Supposons que ∃r > 0,∀z ∈ D(z₀, r), f(z) = 0. Soit V ⊂ U ”le plus grand ouvert connexe contenant z₀ tel que ∀z ∈ V, f(z) = 0”. Si V ̸= U alors, ∃z₁ ∈ U/V, avec z₁ ∈ V. Alors

∀r >0,∃z ∈D(z₁, r)/f(z)̸= 0. Donc d’aprés la proposition précédente, ce zéro serait isolé. Ce qui est contradictoire puisque ∀r >0, D(z₁, r)∩V ̸=∅.

CQFD

4 Le logarithme complexe.

Soit z ∈C. A quelle condition existe-t-il Z ∈C tel que z =e^Z?

Si z = e^Z = eRe(Z)+i.Im(Z) = e^Re(Z).e^i.Im(Z) donc |z| = e^Re(Z) ⇐⇒ Re(Z) = ln|z| et arg(z) = Im(Z) (2π).

On peut donc d´eﬁnir

D´efinition 4.1 (logarithme complexe)

On d´efinit le logarithme complexe ln :C^∗ −→C par ln(z) =Z avec

{ Re(Z) = ln|z|

Im(Z) = arg(z)∈]−π, π]

Remarque 4.2

i) Le logarithme complexe est une bijection de C^∗ sur B :={z∈C,−π < Im(z)≤π}. ii) La fonction r´eciproque de ln est exp :B −→C^∗.

iii) Pour z, α∈C (z ̸= 0), on d´efinit z^α :=e^α.^ln(z).

Exemples 4.3 Calculer ln(z.¯z+e^z + 1) avec z = 1 +i^π₄.

5 Introduction au th´ eor` eme des r´ esidus.

5.1 Int´ egrale d’une fonction complexe sur un chemin C

¹

.

Définition 5.1 Un chemin continument dérivable (ou C¹) (par morceaux) est une appli- cation continue γ : [a, b]−→C dérivable à dérivée continue (par morceaux).

Si γ(a) =γ(b) on parle de chemin ferm´e ou lacet.

(6)

Définition 5.2 Soit f : Ω ⊂ C−→C une fonction de la variable complexe et γ : [a, b]−→ C un chemin continuement dérivable. On définit l’intégrale de f sur γ par :

∫

γ

f(z)dz :=

∫ b a

f(γ(t)).γ^′(t)dt.

Si γ est ferm´e, on utilise parfois la notation H

γf(z)dz.

Exemples 5.3 1) Calculer ∫

γ 1

zdz o`u γ est le cercle de centre 0 et de rayon r parcouru dans le sens indirect.

2) Calculer ∫

γ1∪γ2zdz o`u γ₁ est le demi cercle de centre 2 et de rayon 1 dans le demi-plan sup´erieur parcouru dans le sens direct etγ₂ est le segment[1,3]parcouru dans le sens croissant.

5.2 S´ erie de Laurent.

Soit f une fonction holomorphe sur un disque ouvert D(z₀, R) sauf eventuellement en z₀ alors f s’´ecrit de fa¸con unique sur U :

f(z) =

+∞

∑

n=−∞

a_n.(z−z₀)ⁿ.

On appelle alors Res(f, z_k) = a₋₁ le r´esidu de f enz_k. Calcul du r´esidu de f en z_k.

Soit f une fonction holomorphe sur un disque ouvert D(z₀, R) sauf eventuellement en z₀ alors Res(f, zk) = 1

2π.i

∫

C(z0,r)

f(z)dz = 1 2π

∫ 2π 0

f(z0+r.e^it).re⁻^itdt (0< r < R).

Remarque 5.4 Dans le cas d’un pˆole a d’ordre 1 de f, le r´esidu de f en a est Res(f, a) = lim

z→a(z−a)f(z).

5.3 th´ eor` eme des r´ esidus.

Théorème 5.5 (Enoncé simplifié du théorème des résidus)

Soit f une fonction holomorphe sur C sauf en un nombre finis de points (z₁, ...,z_n∈C).

Soit Γ un lacet ferm´e, sans point double, de C− {z₁, ..., z_n}.

On a alors ∫

Γ

f(z)dz = 2πi.

∑n k=1

I_k^Γ.Res(f, z_k).

avec I_k^Γ= +1 si le lacet entour z_k et est parcouru dans le sens direct (sens inverse des aiguille d’une montre),I_k^Γ=−1si le lacet entour z_k et est parcouru dans le sens indirect,I_k^Γ = 0 sinon.

Exemples 5.6 Calculer I =∫π 0

1 1+sin²(t)dt.

(7)

R´eponse :

En posant θ = 2t et en utilisant cos(θ) = 1−2 sin²(^θ₂), on obtient I =

∫ 2π 0

1

3−cos(θ)dθ.

On pose ensuite z =e^iθ (dθ = ^dz_iz).

D’o`u I =∫

C 2i

z²−6z+1dz o`u C est le cercle unit´e parcouru dans le sens direct.

Le seul pˆole de _z2−²ⁱ6z+1 dans C est 3−2√ 2.

Donc I = 2iπ.Res(_z2−²ⁱ6z+1,3−2√

2) = ⁻^4π

P^′(3−2√

2) avec P(z) =z² −6z+ 1.

D’o`u I = √^π 2.