Leçon 29 :
Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles.
On se place au niveau du secondaire.
CADRE : on se place dans un plan affine P d’espace vectoriel associé 𝑃
Prérequis :
-Equation de droite dans un plan
-le théorème de Pythagore et sa réciproque
-coordonnées d’un point et d’un vecteur dans un repère cartésien -la notion de distance, d’angle et de repère orthonormal
-la norme d’une vecteur : 𝐴𝐵 = AB.
-la trigonométrie
I. Définition et propriétés du produit scalaire
Définition 1 : Soient 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 deux vecteurs non nuls .on appelle produit scalaire de 𝑢 𝑒𝑡𝑣 le nombre réel noté 𝑢 . 𝑣 défini par :
𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 .cos(𝜃) 𝑜ù 𝜃 = (𝑢 , 𝑣 ).
𝑠𝑖 𝑢 = 𝑣 , on obtient 𝑢 . 𝑢 = 𝑢 ² = 𝑢 ² . Le nombre 𝑢 ² est appelé carré scalaire de 𝑢
Propriété 1 : (propriétés fondamentales du produit scalaire) Pour tous 𝑢 , 𝑢 ′, 𝑣 , 𝑣 ‘ de P , pour tout k de 𝑅 on a :
1) (𝑢 + 𝑘. 𝑢 ′). 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + k .( 𝑢 ′. 𝑣 ) (linéarité à gauche) 2) 𝑢 .( 𝑣 + k. 𝑣 ′) = 𝑢 . 𝑣 + k.( 𝑢 . 𝑣 ′ ) (linéarité à droite) 3) 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 (symétrie)
Les propriétés (1) et (2) s’interprètent en disant que l’application 𝛷 : 𝑃 ∗ 𝑃 → 𝑅 𝑢 , 𝑣 ⟼ 𝑢 . 𝑣 est linéaire par rapport à chacune des variables 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 .
Preuve : ces égalités se démontre aisement en utilisant l’expression du produit scalaire dans un repère orthonormal (qu’on verra plus loin)
Théorème 1 : Si A, B et C sont trois points distincts non alignés, le triangle ABC est rectangle en A ⇔ 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 0
Preuve : 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 0 ⟺ AB.AC.cos( 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 )=0
⇔ cos( 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶) =0 (car A, B et C sont distincts ) ⟺ (𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 ) = 𝜋
2 [2 𝜋]
⟺ ABC rectangle en A
Définition 2 : deux vecteurs 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 sont dits orthogonaux si 𝑢 . 𝑣 = 0 on note alors 𝑢 ⊥ 𝑣 Théorème 2 :
1) le vecteur nul est orthogonal à n’importe quel vecteur
2) deux vecteurs colinéaires et non nuls ne sont jamais orthonaux
3) deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leurs supports sont des droites orthogonaux
Preuve :
1) la définition du produit scalaire montre que 0 . v = 0
2) si 𝑢 = 𝜆v , alors 𝑢 . 𝑣 = 0 équivaut à 𝜆v ² = 0 , soit 𝜆 = 0 ( donc 𝑢 = 0 ) puisque 𝑣 est non nul. La propriété s’en déduit
3) notons 𝑢 = 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝑣 = 𝐴𝐶 . Supposons 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 non colinéaires. Dans ce cas A , B , et C ne sont pas alignés et on apllique le théorème 1 :
𝑢 . 𝑣 = 0 ⇔ 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 0 ⇔ ABC est rectangle en A ⇔ (AB) ⊥ (AC)
II. Expression du produit scalaire
A) Dans une base orthonormale :
RAPPEL :
Définition 3 : (𝑖 , 𝑗 ) est une base orthonormale si et seulement si 𝑖 = 𝑗 =1 et 𝑖 . 𝑗 = 0 Théorème 3 : si A(𝑥𝐴,𝑦𝐴) et B(𝑥𝐵,𝑦𝐵) sont deux point donnés par leur coodonnées dans un repère orthonormal R (O, 𝑖 , 𝑗 ) alors AB= 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 2 + ( 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)² . En particulier : 𝑢 (x, y) a pour norme 𝑢 = 𝑥² + 𝑦²
Théorème 4 : Soit (𝑖 , 𝑗 ) une base orthonormale. si 𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑒𝑡 𝑣 = 𝑥′ 𝑖 + 𝑦′𝑗 alors 𝑢 . 𝑣 = xx’+ yy’ = 1 2 ( 𝑢 + 𝑣 ² − 𝑢 ² − 𝑣 ² )
Preuve :
* (appliquer thm 3) :
1
2 ( 𝑢 + 𝑣 ² − 𝑢 ² − 𝑣 ² ) = 1 2 [ (x+x’)² + (y +y’ )² - ( x²+y²) - (x’² + y’² ) ] = xx’+ yy’.
*D’autre part dans le repère orthonormal (A, 𝑢 1, 𝑢 2) où 𝑢 1 est le vecteur unitaire de même sens que 𝑢 et 𝑢 2 le vecteur unitaire tel que (𝑢 1, 𝑢 2)= 𝜋2 [2 𝜋] .
(Dessin ) :
On a : 𝑢 𝑢 0 et 𝑣 𝑢 .cos (𝜃)
𝑣 .sin (𝜃) avec 𝜃 = (𝑢 , 𝑣 ).
(𝑢 + 𝑣 ) 𝑢 + 𝑣 .cos (𝜃)
𝑣 .sin (𝜃) et 𝑢 + 𝑣 ²= 𝑢 ²+ 𝑣 ²+2. 𝑢 . 𝑣 .cos(𝜃), soit 𝑢 + 𝑣 ² − 𝑢 ² − 𝑣 ²= 2. 𝑢 . 𝑣 .cos(𝜃)=2. 𝑢 . 𝑣
Soit 𝑢 . 𝑣 = 1 2 ( 𝑢 + 𝑣 ² − 𝑢 ² − 𝑣 ² ) .
Remarque : si 𝑢 ⊥ 𝑣 on retrouve le théorème de pythagore
A) à l’aide de la projection orthogonale :
Théorème 5:Soient 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 deux vecteurs non nuls tels que : 𝑢 = 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝑣 = 𝐴𝐶 . 1) si H est le projeté orthogonale de C sur (AB) alors :
𝑢 . 𝑣 = 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 . 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 ∗ 𝐴𝐻 𝑠𝑖 𝐴𝐵 et 𝐴𝐻 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠
−𝐴𝐵 ∗ 𝐴𝐻 𝑠𝑖 𝐴𝐵 et 𝐴𝐻 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 2) Si m et n sont les projeté orthogonaux de deux point M et N sur (AB) alors
𝐴𝐵 . 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵 . 𝑚𝑛 (Dessin):
Preuve :
1) 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 . (𝐴𝐻 + 𝐻𝐶 ) = 𝐴𝐵 . 𝐴𝐻 + 𝐴𝐵 . 𝐻𝐶 = 𝐴𝐵 . 𝐴𝐻 ( car 𝐴𝐵 . 𝐻𝐶 = 0 ) 2) 𝐴𝐵 . 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵 .( 𝑀𝑚 + 𝑚𝑛 + 𝑛𝑁 )
= 𝐴𝐵 . 𝑀𝑚 + 𝐴𝐵 . 𝑚𝑛 + 𝐴𝐵 . 𝑛𝑁 ) = 𝐴𝐵 . 𝑚𝑛
III. Application au calcul de distances et d’angles
A) Distance d’un point à une droite
La distance d’un point M(𝑥𝑀, 𝑦𝑀) à la droite D d’équation ax+by+c = 0 dans un repère orthonormal est : d(M,D) = 𝑀𝐴 .𝑛 𝑛 = 𝑎𝑥𝑀+ 𝑏𝑦𝑀+ 𝑐
𝑎²+𝑏² où 𝑛 désigne un vecteur non nul orthogonal à D et A un point quelconque de D
Preuve :
- soit H le projeté orthogonal de M sur D.il existe un un réel 𝜆 tel que 𝑀𝐻 =𝜆 . 𝑛 et l’on a 𝑀𝐻 .𝑛
= 𝜆 . 𝑛 ², donc 𝜆 = 𝑀𝐻 .𝑛 𝑛
² . on déduit que d(M,D) = MH = 𝑀𝐻 = 𝜆 . 𝑛 = 𝑀𝐻 .𝑛
𝑛 . si A (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) est un point quelcoque de D, alors 𝑀𝐻 .𝑛 = 𝑀𝐴 .𝑛 et l’on obtient la première formule
-En choisissant le vecteur 𝑛 normal à D de coordonnées (a,b), on obtient enfin ( par le théorème 3 )
d(M,D) = 𝑀𝐴 .𝑛 𝑛 = 𝑎(𝑥𝑀−𝑥𝐴)+ 𝑏(𝑦𝑀−𝑦𝐴)
𝑎²+𝑏² = 𝑎𝑥𝑀+ 𝑏𝑦𝑀+ 𝑐
𝑎²+𝑏² .
B) Théorème d’Al Kashi
Théorème 6 : a²b² c² 2bc cosÂ
Preuve : cette généralisation du théorème de pythagore se démontre facilement si on utilise le produit scalaire .En effet :
BC² = (𝐴𝐶 - 𝐴𝐵 )² = AB² + AC² -2. 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = b² c² 2bc cos(𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 ) C) Écart angulaire de deux vecteurs
Une mesure 𝜃 dans [0,𝜋] de l’angle géométrique formé par deux vecteurs 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑒𝑡 𝑣 (𝑥′, 𝑦′) satisfait : cos 𝜃 = 𝑢 𝑢 ..𝑣 𝑣 = 𝑥𝑥𝑢 ′+𝑦𝑦 ′. 𝑣
Preuve : découle du théorème 4 et de la définition1
D) Développement de 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∓ 𝒃 et 𝐬𝐢𝐧 𝒂 ± 𝒃 en terminale
Dans un cercle trigonométrique : A et B de coordonnées :A(cos(a),sin(a)) et B(cos(b),sin(b))
cos(𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 ) = cos(b-a) = 𝑂𝐴 . 𝑂𝐵 = (appliquer théorème 3) cos(a).cos(b)+ sin(a).sin(b) E) EXERCICE :
ABCD est un carré de côté a. I et J milieux respectifs de des segments [A,B] et [B,C].L l’intersection des droites (AJ) et (DI).
1) Monter que (AJ) et (DI) sont perpendiculaires.
2) En exprimant de deux façons différentes le produits scalaire 𝐴𝐽 . 𝐴𝐶 ,déterminer,au dixième de degré près, une valeur approchée de l’angle 𝐽𝐴𝐶.
3) Calculer DI . DA . En déduire la longueur DL.
Solution :
1) Dans le repère orthonormale (A, 𝑖 , 𝑗 ) où 𝑖 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 à 𝐴𝐵 , 𝑗 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 à 𝐴𝐷 avec 𝑖 = 𝑗 =1 on a : 𝐴 00 ,B 𝑎
0 , 𝐶 𝑎
𝑎 D 0𝑎 , 𝐼 𝑎/2
0 et 𝐽 𝑎
𝑎/2 . DI 𝑎/2−𝑎 et 𝐴𝐽 𝑎
𝑎/2 d’où 𝐴𝐽 . 𝐷𝐼 = 0
2) * 𝐴𝐽 . 𝐴𝐶 = AJ.AC .cos(𝐽𝐴𝐶) . AC = a. 2 et d’après le théorème de pythagore dans le triangle ABJ, AJ = 𝑎² + 𝑎²/4 = a. 5/2 .donc 𝐴𝐽 . 𝐴𝐶 = a². 10/2. cos(𝐽𝐴𝐶)
Dans le repère (A, 𝑖 , 𝑗 ) on a : 𝐴𝐽 𝑎
𝑎/2 et 𝐴𝐶 𝑎𝑎 , donc 𝐴𝐽 . 𝐴𝐶 = a²/2+a² = 3/2.a².
Par suite, cos(𝐽𝐴𝐶) = (3/2.a²)/( a². 10/2) = 3/ 10 et 𝐽𝐴𝐶 ≈ 18,5° .
3) On a DI . DA = DA . DA = DA² = a² et DI . DA = DI . DL donc DI et DL ont même sens et a² = DI.DL. comme DI=AJ = a. 5/2 on obtient DL = a²/DI = 2a/ 5 = 2a. 5/5.
