Devoir Surveill´ e n˚4. Ordre, in´ equations, valeurs absolues. Correction.
Exercice 1 : comparaisons
1. • 37 =1535 et 25 =1435, or 15>14 donc 37 >25.
• D’abord on met les deux nombres en ´ecriture scientifique : 1.12×10−4l’est d´ej`a, et 123.12×10−6= 1.2312×10−4. Les exposants sont identiques, on compare donc les parties d´ecimales : 1.2312>1.12 donc 123.12×10−6>1.12×10−4.
• 2+1√3 =2+1√3×2−2−√√33 =(2+√2−3)(2−√3√3)= 222−−(√√33)2 = 2−√ 3
• 1 +1+11 1+ 12
> 1 (1 plus un nombre positif) et 128.009243129.12345 < 1 (d´enominateur plus grand que le num´erateur). Donc 1 +1+11
1+ 12
> 128.009243129.12345.
2. •
³√ 2−1 1+√
3
´2
−2π1 ≈ −0.136<0 donc
³√ 2−1 1+√
3
´2
<2π1
• 2−π1 −1−1√3 ≈0.519>0 donc 2−π1 >1−1√3. 3. π+14 >1 donc π+14 <¡π+1
4
¢2
<¡π+1
4
¢3 .
4.
1< x <3
1 + (−1)< x+y <4 + 3 soit 0< x+y <7.
−1< y <4
En revanche on ne peut soustraire des in´equations, il faut en passer par un encadrement de −y : puisque−1< y <4, alors−4<−y <1. Donc :
1< x <3
1 + (−4)< x−y <3 + 1 soit−3< x−y <4.
−4<−y <1
Exercice 2
1. A) x∈]2; 4].
B) x∈[−1; 3[.
C) x∈[2; +∞[.
2. • 3x+ 1>3 donc 3x >2 doncx > 23 :S=]23; +∞[.
• −2x+ 3≤4 donc−2x≤1 doncx≥ −12 (division par un n´egatif...) : S= [−12; +∞[.
• 3x+52 ≥4x+34 donc 3x−4x≥34−52 donc−x≥ −74 doncx≤74 :S=]− ∞;74].
3. Ici on doit faire des tableaux de signe.
•
x −∞ -2 32 +∞
signe de −2x+ 3
+ +
0-
signe dex+ 2
-
0+ +
signe de (−2x+ 3)(x+ 2)
-
0+
0-
Donc (−2x+ 3)(x+ 2)≥0 sur [−2,32] :S= [−2,32].
•
x −∞ −1 −34 +∞
signe dex+ 1
-
0+ +
signe de 4x+ 3
- -
0+
signe de (x+ 1)(4x+ 3)
+
0-
0+
Donc (x+ 1)(4x+ 3)<0 sur ]−1,−34[ :S=]−1,−34[.
Exercice 3
1. • AB=|xB−xA|=|3−(−2)|=|3 + 2|=|5|= 5. La distance entre A et B est de 5 (graduations).
• CM=|x−(−4)|=|x+ 4|<5.
2. • Les points `a une distance de 2 du point d’abscisse 6 sont les points d’abscisse 4 et 8. Donc les solutions de|x−6|= 2 sontx= 4 etx= 8.
• Les solutions de|x+ 6|= 2 sont les solutions de |x−(−6)|= 2, soit les points `a une distance 2 du point d’abscisse -6. Les solutions de|x+ 6|= 2 sont doncx=−4 etx=−8.
• De mˆeme, les solutions de |2x+ 5| = 3 v´erifient 2x = −2 et 2x = −8, donc les solutions de
|2x+ 5|= 3 sontx=−1 etx=−4.
• Traduisons l’´egalit´e en mots : la distance entrexet−3 est ´egale `a la distance entrexet 1, donc xest le milieu de -3 et 1 :x=−1 est l’unique solution de l’´equation|x+ 3|=|x−1|.
3. Bonus :|x−5|<2 signifie que la distance entrexet 5 est plus petite que deux. Ceci est vrai pour toutxentre 3 et 7 (strictement) :S=]3; 7[.
