DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Int´ egration et alg` ebre lin´ eaire
On noteE l’espace vectoriel r´eel des fonctions `a valeurs r´eelles, continues et d´efinies surR+. Pour f ∈E, on noteφ(f) la fonction d´efinie pourxpositif ou nul par φ(f)(x) =R1
0 f(xt)dt.
Partie A – L’endomorphisme φ
A.1Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif, φ(f)(x) =
Rx 0 f(u)du
x .
A.2D´eduire que la fonctionφ(f) est continue et d´erivable surR∗+ et est continue en 0.
A.3Montrer que l’application φest un endomorphisme injectif deE.
Partie B – Monotonie de φ
B.1Montrer que si deux ´el´ements f etg deEv´erifient f 6g, alorsφ(f)6φ(g).
B.2 Montrer que si f ∈ E est croissante (respectivement d´ecroissante), alors φ(f) est aussi une fonction croissante (respectivement d´ecroissante).
B.3 Montrer que si f ∈ E est croissante (respectivement d´ecroissante), alors φ(f) 6 f (respectivement φ(f)>f).
Partie C – Ensemble stable par φ
C.1Soitf ∈E. Montrer que l’applicationx7→Rx
0(f(t))2dt, d´efinie surR+, est croissante. En cons´equence, cette application admet une limitel∈R∪ {+∞}en +∞. On notel <+∞pour exprimer quel est finie.
On consid`ere le sous-ensembleLdeE constitu´e des ´el´ementsf deE v´erifiant :
x→lim+∞
Z x
0
(f(t))2dt <+∞.
Soitf ∈ Let F d´efinie parF(x) =Rx
0 f(t)dt pour toutx>0.
Soientaet bdeux r´eels tels que 0< a < b.
C.2Montrer `a l’aide d’une int´egration par parties que : Z b
a
(φ(f)(t))2dt6(F(a))2
a + 2
Z b
a
f(t)φ(f)(t)dt.
C.3Apr`es avoir remarqu´e que (F(a))2=a2(φ(f)(a))2, d´eduire de l’in´egalit´e pr´ec´edente : Z b
0
(φ(f)(t))2dt
!12 62
Z b
0
(f(t))2dt
!12 .
C.4Montrer que sif appartient `a L, alorsφ(f) appartient `aL.
