D252 Le quatrième sommet
Notons −→u = −−−−→
M1M2,−→v = −−−−→
M2M3 et −→w = −−−−→
M3M1. Posons k1 = −→u · −→w , k2 =
−
→v · −→u et k3 = −→w · −→v , de sorte qu’un seul des trois est nul. Soient −−−−→ M1N1 =
−
→u − −→w ,−−−−→
M2N2 = −→v − −→u et −−−−→
M3N3 = −→w − −→v (on remarquera que −−→
ONi =
−−−→OM1+−−−→
OM2+−−−→
OM3−2−−→
OMi).
Alors−−−→
OM4= k1k2
−−→ON3+k2k3−−→
ON1+k3k1−−→
ON2
k1k2+k2k3+k3k1 est par construction tel queM4 est le quatrième sommet du rectangle dont les coordonnées sont bien des fonctions rationnelles. N’ayant pas de logiciel de calcul formel sous la main, j’ignore si l’explicitation def et g a un quelconque intérêt, mais une simplification peut toujours m’avoir échappé.
Une question me vient : dans le cas où le triangleM1M2M3 n’est pas rectangle, le pointM4 est-il un barycentre remarquable ?
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