D252 – Le quatrième sommet [*** à la main]
Dans le plan euclidien, on donne les coordonnées de trois sommets d'un rectangle non aplati :
M1 (x1, y1), M2 (x2, y2) et M3 (x3, y3). On ne connaît pas le sommet de l'angle droit du triangle (M1M2M3).
Exprimer les coordonnées x4, y4 du quatrième sommet du rectangle comme fonctions rationnelles [quotient de deux polynômes] de (x1, y1, x2, y2, x3, y3).
On veut une seule formulation x4 = f (x1, y1, x2, y2, x3, y3) et y4 = g (x1, y1, x2, y2, x3, y3).
Solution de Michel Lafond:
Définissons les produits scalaires P1 =
2 1M
M .
3 1M
M P2 =
1 2M
M .
3 2M
M P3 =
1 3M
M .
2 3M M Par hypothèse, l’un de ces trois produits est nul et les deux autres non nuls.
Donc parmi les trois produits a1 = P2.P3 a2 = P1.P3 a3 = P1.P2, deux sont nuls, le troisième est non nul.
Posons x4 = x1 + x2 + x3 – 2
3 2 1
3 3 2 2 1 1
a a a
x a x a x a
y4 = y1 + y2 + y3 – 2
3 2 1
3 3 2 2 1 1
a a a
y a y a y a
.
Le dénominateur est non nul d’après ce qui précède.
P1, P2, P3, a1, a2, a3 sont des polynômes de variables (x1, y1, x2, y2, x3, y3) donc x4 et y4 sont bien des fractions rationnelles de variables (x1, y1, x2, y2, x3, y3).
Reste à montrer que le point M4 (x4, y4) est le quatrième sommet du rectangle :
Supposons que le sommet de l’angle droit du triangle (M1M2M3) est M1 (la démonstration serait analogue pour le deux autres possibilités). On a alors P1 = 0, donc a2 = a3 = 0 et a1 0, par conséquent :
x4 = x1 + x2 + x3 – 2 1 2 3
1 1
1 x x x
a x
a et y4 = y1 + y2 + y3 – 2 1 2 3
1 1
1 y y y
a y
a .
Ce qui entraîne x3 – x1 = x4 – x2 et y3 – y1 = y4 – y2 donc
3 1M
M =
4 2M M
(M1M2M4M3) est un parallélogramme qui a un angle droit, c’est donc un rectangle. CQFD.
A quoi ressemblent ces fonctions ?
On a P1 = (x2 – x1) (x3 – x1) + (y2 – y1) (y3 – y1) P2 = (x1 – x2) (x3 – x2) + (y1 – y2) (y3 – y2) P3 = (x1 – x3) (x2 – x3) + (y1 – y3) (y2 – y3) et a1 = P2.P3 a2 = P1.P3 a3 = P1.P2
Lorsqu’on calcule x4 = x1 + x2 + x3 – 2
3 2 1
3 3 2 2 1 1
a a a
x a x a x a
, en remplaçant a1, a2, a3 par les polynômes
précédents, on trouve une fraction assez compliquée, mais qui se simplifie du fait qu’au numérateur et au dénominateur on a le facteur commun x1 (y3 – y2) + x2 (y1 – y3) + x3 (y2 – y1) qui n’est pas nul (c’est au signe près deux fois l’aire du triangle M1M2M3).
Après simplification, il reste :
) (
) (
) (
) (
) 2
( ) (
) 2
( ) (
) 2
(
1 2 3 3 1 2 2 3 1
1 2 2 2 1
2 3 3 3 1 3 2 1
2 2 2 2 3 3 2 2
2 1 4 1
y y x y y x y y x
y y x x y x y y x x y x y y x x y x x
et de même :
) (
) (
) (
) (
) 2
( ) (
) 2
( ) (
) 2
(
1 2 3 3 1 2 2 3 1
1 2 2 2 1
2 3 3 3 1 3 2 1
2 2 2 2 3 3 2 2
2 1 4 1
x x y x x y x x y
x x y y x y x x y y x y x x y y x y y
.
M1 M2
M4
M3
