D252 Le quatri`eme sommet
Probl`eme propos´e par Michel Lafond
Dans le plan euclidien, on donne les coordonn´ees de trois sommets d’un rectangle non aplati :M1(x1, y1), M2(x2, y2) etM3(x3, y3). On ne connaˆıt pas le sommet de l’angle droit du triangle (M1M2M3).
Exprimer les coordonn´eesx4, y4du quatri`eme sommet du rectangle comme fonctions rationnelles [quotient de deux polynˆomes] de (x1, y1, x2, y2, x3, y3).
On veut une seule formulation
x4=f(x1, y1, x2, y2, x3, y3) ety4=g(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
Solution propos´ee par Claudio Baiocchi
On va noter −→Mj le vecteur sortant de l’origine dont la fl`eche est en Mj. On remarquera que, sans la restriction “une seule formulation”, on pourraˆıt r´esoudre le probl`eme par s´eparation de cas ; par exemple :
−→M4=−→M1+−→M2− −→M3 si l’angle droit est en M3 (1) et les analogues obtenues par rotation des indices.
Naturellement la restriction “fonctions rationnelles” joue elle aussi son rˆole : comme les informaticiens savent bien, une s´eparation de cas peut ˆetre repr´esent´ee par une formule unique en faisant usage des “valeurs de v´erit´e” des variables logiques ; mais ceci ne correspond pas `a des quotients de polynˆomes !
Revenant `a (1), on doit naturellement exprimer alg´ebriquement la condition si l’angle droit est enM3.On pourraˆıt bien sˆur contrˆoler si le cˆot´e le plus long estM1M2; mais l’usage des produits scalaires offre une solution plus simple : il faut et il suffit que le produit scalaire−→M1− −→M3,−→M2− −→M3
s’annule.
On remarquera que, lorsque l’angle droit est en fait en M3, les deux pro- duits scalaires analogues :−→M2− −→M1,−→M3− −→M1
et−→M1− −→M2,−→M3− −→M2
(qui s’annulent lorsque l’angle droit est respectivement enM1 et M2) prennent des valeurs non nulles : ils co¨ıncident respectivement avec −→M3− −→M1,−→M3− −→M1 (carr´e de la longueur du segmentM1M3) et−→M3− −→M2,−→M3− −→M2
(carr´e de la longueur du segmentM2M3) ; en particulier on peut rempla¸cer (1) par :
−−−→(M4)3 =
−→M2− −→M1,−→M3− −→M1
−→M1− −→M3
2 ∙
−→M1− −→M2,−→M3− −→M2
−→M2− −→M3
2 ∙
−→
M1+−→M2− −→M3
(2)
o`u l’indice 3 pour −→M4 sp´ecifie que la valeur est correcte si l’angle droit est en M3; naturellement l’avantage est que, lorsque l’angle droit est ailleurs, −−−→(M4)3
est tout simplement le vecteur nul.
1
La formule cherch´ee est donc donn´ee par :
−→M4:=−−−→(M4)1+−−−→(M4)2+−−−→(M4)3 (3)
o`u−−−→(M4)1 et−−−→(M4)2 s’obtiennent `a partir de (2) par rotation des indices.
On ne donnera pas ici la formule explicite pour les quotients de polynˆomes fournissantsx4, y4en termes de (x1, y1, x2, y2, x3, y3) : le tout peut ˆetre r´egl´e en trois phases :
– traduction de (2) en termes de (x1, y1, x2, y2, x3, y3) – rotation des indices
– ´evaluation de−→M4 `a partir de (3)
qui peuvent (devraˆıent. . .) ˆetre effectu´ees `a l’aide d’un programme de manipu- lation symbolique. On se borne `a une petite remarque : on peut ´ecrire les−−−→(M4)j
sous la forme :
−−−→(M4)j=
−→Nj D o`u le num´erateur−→N3 est donn´e par
−→N3:=−→M3− −→M1
2∙ −→M2− −→M1,−→M3− −→M1
∙ −→M1− −→M2,−→M3− −→M2
∙−→
M1+−→M2− −→M3 , les analogues−→N1,−→N2 sont obtenus par rotations des indices, et le d´enominateur D:=−→M1− −→M3
2
∙−→M2− −→M3
2
∙−→M3− −→M1
2
est ind´ependant dej.
Sommant les−→Nj on aboutira `a une formule finale pour−→M4 qui a un aspect plus ´el´egant : aussi les programmes de manipulation symboliques peuvent parfois ˆetre aid´es par une pr´e-´elaboration humaine. . .
2
