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D161. Les sept nains prennent goût à la géométrie

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Academic year: 2022

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D161. Les sept nains prennent goût à la géométrie

Pour faciliter la lisibilité de la démonstration, nous avons renommé quelques points et avons considéréU, V, W et X les projetés orthogonaux de R etT sur (GP) et (J Q). Avec les nouvelles notations, nous avons AS = 40, RS = 20 et DR = 10, et il s’agit essentiellement de déterminer la distanceST puisque AT =AS−ST.

Soitρ= STRS2

. D’après le théorème de Thalès, nous avonsρ= T VRX ·T WRU. Les triangles P T V et QU R sont semblables car ils ont deux paires d’angles égaux (un angle droit et un angle interceptant l’arc GJ), d’où P TT V = QRRU. De même, J T W est semblable à GRX et T WJ T = RXGR. D’où ρ= QR·GRP T·J T. Puis, en utilisant les puissances deT etRpar rapport au cercle,ρ=DR·ARAT·DT.En écrivant ρ = (AS−STDR·AR)(DS+ST), nous avons l’équation 20x2

= (40−x)(30+x)

600 d’inconnue x=ST. Elle conduit à x2−4x−480 = 0 admettant pour racines 24 et −20.

Finalement,ST = 24 etAT = 16.

A

D S

G

P

R J Q

T V

W U

X

1

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