Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Devoir surveillé n°4
Vendredi 23 janvier de 14h à 17h
Le barème est sur 157 points. L’évaluation prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Exercice 1 (Une somme de cosinus hyperboliques−12 points) Soitx∈R.
1. Factoriser 1+exparex2, puis exprimer le résultat à l’aide d’une fonction hyperbolique. /2
2. Démontrer que pour toutn∈N∗ /10
n
X
k=0
Ãn k
!
ch(kx)=2n×chn³x 2
´
×ch³nx 2
´.
Exercice 2 (Primitives, intégrales et limites−43 points)
1. Énoncer le théorème donnant une formule intégrale pour une primitive d’une fonction continue sur un /4 segment.
2. Énoncer la formule d’intégration par parties, puis la démontrer. /8
3. Déterminer une primitive de la fonction de la fonction /2
¯
¯
¯
¯
f1 : ¤1
2,+∞£
→ R
x 7→ p
2x−1.
4. Calculer l’unique primitiveF2de la fonction /6
¯
¯
¯
¯
f2 : R → R
x 7→ x e−x
qui s’annule en 0, puis étudier la limite éventuelle deF2(x) quandxtend vers+∞.
5. Pour toutε∈R>0, on pose
I(ε)= Z1
ε
ln(x)d x.
(a) Jusfitier queI(ε) existe pour toutε∈R>0. /1
(b) CalculerI(ε) pour tout ε∈R>0, puis étudier la limite éventuelle de I(ε) quandεtend vers 0 par /4 valeurs supérieures.
6. Calculer /6
Ze 1
ln(t) t+tln2(t)d t au moyen du changement de variableu=ln(t).
7. Soitaun nombre réel fixé. Déterminer une primitive de la fonction /12
ga:x7→ 1 x2+2x+a
sur son domaine de définitionDaque l’on précisera. On distinguera plusieurs cas.
1
Problème (Autour de la fonction arctangente−102 points) Partie A : Construction de la fonction arctangente−51 points
1. Étudier les variations de la fonctionf définie par /4
¯
¯
¯
¯
f : ¤
−π2,π2£
→ R
x 7→ tan(x).
2. Démontrer que l’applicationf est bijective. /5
3. Nous appellons fonction arctangente, et nous notons Arctan, l’application réciproque def. Nous po- sons donc Arctan :=f−1.
(a) Expliciter la fonction Arctan. /2
(b) Calculer Arctan(0), Arctan(1), Arctan¡p 3¢
. /3
4. Justifier que la fonction Arctan est bijective, continue sur son domaine de définition et strictement crois- sante sur son domaine de définition. /1
5. Construire une fonction Python nomméedichotomie /10
• d’argument un flottantprecision
• qui retourne une valeur approchée de Arctan¡1
2
¢, calculée pardichotomie, avec une erreur inférieure à la valeurprecisionpassée en paramètre.
6. Démontrer que la fonction Arctan est impaire. /8
7. Énoncer le théorème sur la dérivabilité et la dérivée d’une fonction réciproque. /4 8. Démontrer que Arctan est dérivable sur son domaine de définition, puis calculer Arctan′.
/5 9. On fixe un repère³
O;−→ i ,−→
j´
du plan et on noteC la courbe représentative de la fonction Arctan.
(a) Rappeler la définition de la courbeC. /2
(b) Énoncer les résultats concernant les limites de la fonction Arctan aux bornes de son ensemble de
définition, puis en donner une interprétation graphique. /2
(c) Donner les équations réduites des tangentes à la courbeC aux points d’abscisses 0 et 1. /2 (d) Tracer l’allure de la courbeC.
/3 Partie B : Étude d’une fonction auxilliaire−13 points
Soitgla fonction définie par
¯
¯
¯
¯
g : R\ {−1,1} → R x 7→ 1−2xx2. 1. Soita∈R\ {−1,1}.
(a) Que signifie l’assertion : la fonctiongest dérivable ena? /2
(b) Si la fonctiongest dérivable ena, comment est défini son nombre dérivé ena, notég′(a) ? /1 (c) Démontrer quegest dérivable ena, puis donner une expression deg′(a), en s’appuyant uniquement
sur les définitions. /5
2. Retrouver les résultats sur la dérivabilité et la dérivée de la fonctiongétablis précédemment, en utili- /5 sant un théorème d’opération sur les fonctions dérivables.
Partie C : Simplification de l’écriture d’une fonction mettant en jeu Arctan−38 points Soit la fonction
¯
¯
¯
¯
¯
h : R\ {−1,1} → R x 7→ Arctan³
2x 1−x2
´.
1. Étudier la parité deh. /4
2. Démontrer quehest dérivable surR\ {−1,1}. /2
3. Calculerh′(x), pour toutx∈R\ {−1,1}.
4. En déduire une expression deh(x) en fonction de Arctan(x), pour toutx∈R\ {−1,1}. On distinguera /6 plusieurs cas. /12
5. Donner une expression de tan(2x) en fonction de tan(x), en précisant pour quels réelsxcette formule /2 vaut.
6. En remarquant que tout réelxappartenant àR\ {−1,1} peut s’écrire sous la forme /12 x=tan(t)
pour un (unique) réelt∈¤
−π2,π2£
\ {−π4,π4}, proposer une autre démonstration du résultat obtenu à la question 4.
2
