A1747*** - Une racine qui monte au ciel
La racine digitale (1) d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10), obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple la racine digitale de 65536 est 7 avec 6+5+5+3+6 = 25 et 2+5 = 7.
On considère la suite an = partie entière par défaut de 10nπ à savoir a1 = 31, a2 = 314, a3 = 3 141, a4 = 31 415 … puis la suite bn définie par b1 = a1, b2 = a1a2, b3 = a1(a2^a3), … sachant que dans chaque échelle d'exposants, on commence les exponentiations par le haut de l'échelle.
Calculer la racine digitale de b1 000 000
(1) Nota : en anglais, « digital root »
Proposition de Marc Humery 1/ Données
an = E(10nπ) avec π = 3,141 592 653…
a1 = E(10π) = 31 ; a2 = E(10²π) = 314 ; a3 = E(103π) = 3 141 ; a4 = E(104π) = 31 415 ; …
b1 = a1, b2 = a1a2, b3 = a1(a2^a3) ; b4 = a1a2^(a3^a4) ; b5 = a1a2^[a3^(a4^a5)] ; … ; bn = a1a2^a3^ … ^[an-2^(an-1^an)]
Exemples numériques :
5[3^(2^2)] = 5(3^4) = 581 ; 5[2^(2^3)] = 5(2^8) = 5256 ; 5[2^(3^2)] = 5(2^9) = 5512
2/ racine digitale de N notée rd(N)
∀N, 1 ≤ rd(N) ≤ 9 ; rd(314) = rd(923 521) = 9+2+3+5+2+1 = 22 = 2+2 = 4 bn = a1a2^a3^a4^… = 31314^3 141^a4^ …
∀[a4^(a5^…)] ; An = 3 141^[a4^(a5^ … )] est toujours un nombre entier impair An = 2p+1 bn = 31(314^2p+1)
a2 = 314 ≡ (-1) [mod 3] => 3142p+1 ≡ (-1)2p+1 = (-1) [mod 3] 3142p+1 = 3k+2 bn = 313k+2
rd(bn)= rd(313k+2) = rd(43k+2) On sait que :
rd(43k) = 1 ; rd(43k+1) = 4 ; rd(43k+2) = 7 On en déduit :
rd(bn)= 7
Conclusion : la racine digitale de b1 000 000 est égale à 7
