Chapitre
Le calcul approché de a toujours été un enjeu majeur en mathématiques. Bien avant l’utilisation des séries rapidement convergentes que l’on connaît de nos jours (voir par exemple Le fascinant nombre de Jean-Paul Delahaye, Édition Belin, Pour La Science), et jusqu’à une époque finalement assez récente, ce sont les méthodes géométriques, liées à la définition même de , qui ont été à l’honneur. À partir du XVIIe siècle, les séries ont pris la relève, avec le très grand succès que l’on sait.
Sommaire
Chapitre 12. Autour de ... 239
1. La méthode d’Archimède ... 240
1.1 Introduction et notations ... 240
1.2 Expression de ces suites en fonction de n ... 241
1.3 Des relations de récurrence ... 241
1.4 Justifications géométriques des résultats précédents ... 242
1.5 Étude de ces suites ... 244
1.6 Mise en œuvre sur une calculatrice ... 245
2. Accélération de la méthode d’Archimède ... 247
2.1 Rapidité de convergence de ces suites ... 247
2.2 Une première accélération de convergence ... 250
2.3 Accélération de convergence en cascade ... 253
3. Utilisation d’une série en arctangente ... 255
3.1 La série de Gregory ... 255
3.2 La formule de Leibniz ... 256
3.3 La formule de Machin ... 260
Chapitre 12.
Autour de
1. La méthode d’Archimède
1.1
Introduction et notations
La plus célèbre des méthodes géométriques, la plus ancienne aussi, a été proposée par Archimède1: au
IIIe siècle avant Jésus-Christ. Elle consiste à approcher la circonférence d’un cercle unité, de périmètre 2 (ou de n’importe lequel de ses arcs) par des polygones réguliers, inscrits et circonscrits, dont à chaque étape on double le nombre de côtés.
Plus précisément (voir la figure suivante) désignons par L la longueur de l’arc MN, longueur que l’on cherche à approximer. Cette longueur L est encadrée :
inférieurement par s0, puis 2s1, puis 4s2 et plus généralement par la somme, égale à Sn2nsn, des longueurs de 2n cordes, chacune mesurant sn ;
supérieurement par t0, puis 2t1, puis 4t2 et plus généralement par la somme, égale à Tn 2ntn des longueurs de 2n segments tangents chacun mesurant tn.
À l’étape n du calcul, on encadre L par Sn et Tn : Sn L Tn. Il semble que chacune de ces suites converge vers la longueur de l’arc MN.
1 Ces résultats sont tirés d’un texte très court d’Archimède, De la mesure du cercle, composé de seulement trois propositions. C’est la troisième proposition qui établit l’encadrement 3+10/71 < < 3+1/7, en utilisant des polygones réguliers inscrits et circonscrits. Voir par exemple l’excellent Histoire d’algorithmes, Belin, pour une approche historique et un commentaire du texte d’Archimède.
cn+ 1
Dans le cas où l’arc MN correspond au demi-cercle tout entier2, dont la longueur est précisément 3, les deux suites
Sn et
Tn vont converger vers . Ce qu’il reste à prouver !1.2
Expression de ces suites en fonction de n
Par définition, n étant un entier naturel quelconque, sn est la longueur du côté d’un polygone régulier à 2n côtés inscrit dans un demi-cercle de rayon 1.
L’angle au centre interceptant le côté de ce polygone, soit BOA, vaut 2n
car le polygone comporte 2n côtés et est inscrit dans le demi-cercle. La droite (OI) étant la médiatrice du segment [AB], on peut
écrire que 1 1
2 2n 2n
BOI IOA
et sin 1
2n
BI IA
, si bien que 2 2sin 1
n 2n
s BI
.
Par conséquent, 2 2 2sin 1 2 1sin 1
2 2
n n n
n n n n
S s
De la même façon, la droite (OI) est aussi médiatrice du segment [DC] et l’on peut écrire : tan 1
2n
DJ JC
si bien que 2 2 1tan 1
2
n n
n n n
T t
, pour n entier naturel non nul.
1.3
Des relations de récurrence
Mettons maintenant en évidence une relation de récurrence pour chacune des deux suites, qui permette aussi de nous débarrasser complètement des sinus et tangentes4.
Remarquons tout d’abord que, pour tout entier naturel n :
2
2 2 2
1 1
1 1 2 2 2
2 sin sin sin
2 2 2 1
2 2
2 sin sin 2 sin cos cos
2 2 2 2 2
n
n n n
n n n
n n n n n
S S
(1)
2 Situation que nous utiliserons systématiquement dans ce qui suit.
3 Rappelons que le cercle a pour rayon 1.
4 Pour fabriquer une table trigonométrique, on doit connaître entre autres une valeur approchée de … que l’on cherche ici à calculer. Il faut donc sortir du cercle vicieux.
Considérons donc la suite définie pour n entier naturel quelconque par : cos 1
n 2n
c
.
D’une part, c00 ; d’autre part, 1 2 1 1
1 cos 1
1 2
cos cos
2 2 2 2 2
n n
n n n
c c
5. Donc la suite (cn) peut être calculée sans aucune utilisation de la trigonométrie.
L’égalité (1) s’écrit, pour tout entier naturel n :
1 1 n 1
n n
S
S c
soit 1
1 n n
n
S S
c
.
Enfin,
2
2
2 1
1 2
1 2
2 sin 2 tan 2
2 cos
2
n
n
n n
n n
n n
T S
c
.
En conclusion, nous disposons maintenant de trois suites, (Sn), (Tn) et (cn) vérifiant :
0 0
c , S02,
1
1 2
n n
c c
, 1
1 n n
n
S S
c
et 1 1
1 n n
n
T S c
pour tout entier naturel n.
Ces relations permettent le calcul de proche en proche des termes des suites (Sn) et (Tn), sans aucune référence à la trigonométrie.
1.4
Justifications géométriques des résultats précédents
On peut retrouver les relations de récurrence précédentes par des considérations strictement géométriques.
5 On rappelle que cos 2x2cos2x1 donc 1 cos 2
cos 2
x x ; dans notre cas, tous les angles considérés sont compris entre 0 et 2
donc ont des cosinus positifs.
Examinons sur la figure précédente comment on passe de l’étape n à l’étape n + 1 et plus précisément comme évolue sn+1 à partir de sn.
Soit cn la distance de la corde de longueur sn au centre du cercle. Cette grandeur nous sera utile dans les calculs intermédiaires. Remarquons que d’après le théorème des milieux appliqué au triangle FBJ, on a FB2cn1.
Une relation entre Sn+1 et Sn
On peut calculer de deux façons différentes l’aire du triangle rectangle FBJ : d’une part 1
2 BI FJ, d’autre part 1
2 BF BJ. On obtient alors l’égalité :
1 1
1 1
2 2
2 2 2
n
n n
s c s
qui peut aussi s’écrire sn+1 = sn
2cn + 1
.
Par conséquent, 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
2
n
n n n n n
n n
n n n
s s S
S s
c c c
: c’est bien l’une des relations rencontrées plus haut.
Relation entre cn + 1 et cn
Dans le même triangle rectangle FBJ, nous avons la relation BF2 = FI FJ, d’où l’on déduit :
2
4cn1 2 1cn soit 1 1 2
n n
c c
.
On retrouve une autre de nos relations.
Relation entre Tn et Sn
En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles OIB et OJD, on obtient : JD OJ
IB OI soit 2 1 2
n
n n
t s c
autrement dit n n
n
t s
c . Par conséquent, 2
2n n n n
n n
n n
s S
T t
c c . C’est la dernière de nos trois relations.
On retrouve aussi géométriquement le fait que S0 s0 2 et que la suite (Tn) ne soit définie qu’à partir de n = 1.
1.5
Étude de ces suites
6 PropositionLa suite (cn) est strictement croissante et converge vers 1.
Démonstration
Remarquons au préalable que la suite (cn) est positive et majorée par 1. C’est une quasi-évidence géométrique mais cet encadrement peut se démontrer par récurrence. Il est en fait vrai pour n = 0. Si on suppose que pour un entier arbitraire n, on a 0cn1, on peut écrire :
1 1 cn 2 1 1
2 2 1 cn
1
0 1 1
2 2
cn
ce qui démontre bien la propriété pour l’entier n + 1 qui suit.
Montrons maintenant que la suite (cn) est strictement croissante. En effet, l’inégalité cn+1 > cn équivaut à 1
2
n n
c c
soit 1 2
2
n n
c c
ou 2cn2 cn 1 0, inégalité qui est vraie car pour tout n, cn est dans l’intervalle [0 ; 1[.
La suite (cn) étant croissante et majorée, elle converge vers un réel l qui vérifie l = l + 1 2 . La résolution de l’équation donne l = 1.
Théorème
Les suites (Sn) et (Tn) sont adjacentes et convergent toutes les deux vers . Démonstration
Considérons d’abord la suite (Sn). Elle est, comme (cn), croissante. En effet, d’après la relation de récurrence qui la définit, on a Sn + 1
Sn
= 1 cn + 1
> 1. Comme la suite (Sn) est à termes positifs, on en déduit que pour tout n, Sn + 1 > Sn.
Quant à la suite (Tn), elle est décroissante. En effet : Tn + 1
Tn
= 1 1 2
1 1 1
2 1
1
n n n n n n
n n n n n n
S c S c c c
c S S c c c
puisque cn est dans l’intervalle [0 ; 1[.
6 Certaines de ces propriétés auraient pu être démontrées à partir des expressions en fonction de n de ces suites.
Enfin, 1 1
1 0
n n
n n n n n
n n n
S c
T S S S S
c c c
, ce qui prouve que Tn > Sn.
La suite (Sn) est croissante, majorée par T0 : elle admet donc une limite S. De même, la suite (Tn) est décroissante, minorée par S0 : elle admet donc une limite T.
L’égalité précédente montre que lim
lim1 0
n
n n n
n n
n
T S c S
c , ce qui prouve T = S.
En d’autres termes les suites (Sn) et (Tn) sont adjacentes.
Comme pour tout n, on a : Sn < < Tn, on en déduit par passage à la limite que = S = T.
1.6
Mise en œuvre sur une calculatrice
Elle est immédiate et très simple. De plus le fait que les suites soient adjacentes donne à chaque étape un encadrement de . On peut donc sortir du programme dès que cet encadrement est moindre qu’une erreur e fixée, passée comme paramètre d’entrée. La variable n est incrémentée à chaque passage dans la boucle ; elle est renvoyée par Disp à la fin de notre fonction.
Les résultats, conformes à nos attentes, sont obtenus en quelques secondes.
Pour mémoire une valeur approchée de avec 20 décimales : 3,14159265358979323846.
Attention à ne pas utiliser cette fonction en mode Exact, à cause des racines carrées qui vont conduire à des calculs ingérables et inutilement compliqués. Outre la forte augmentation de temps d’exécution que cela entraîne, les résultats renvoyés sont inexploitables, parce qu’illisibles et dénués de sens concret comme par exemple ceux qui suivent7 :
Le lecteur attentif observera que le calcul approché a été forcé dans la fonction archi : c’est le rôle du 2.0 ou 2. dans la formule 1
2.
c .
Quelques aménagements à cette fonction peuvent être obtenus très simplement : avec le menu Créer une copie, on dispose d’une autre version du programme sur laquelle on peut modifier facilement quelques instructions, sans avoir à ressaisir tout le code.
Une première idée consiste à renvoyer effectivement une valeur approchée de , en prenant par exemple la moyenne arithmétique des deux valeurs s et t, l’erreur commise alors étant moindre que
1 2e.
Ensuite on peut aussi afficher les résultats intermédiaires avec l’instruction Disp, ainsi que l’écart t – s. Ci-dessous la version modifiée de notre fonction qui tient compte de ces deux remarques.
7 Le deuxième est obtenu au bout d’un temps assez long… avec l’ordinateur ! À déconseiller donc à la calculatrice.
Il semble que l’écart t – s , à chaque étape, soit à peu près divisé par 4. Ceci laisse supposer pour chacune de nos deux suites une convergence de nature géométrique. Sachant par exemple que pour n = 15, l’erreur commise en remplaçant par S15 ou T15 est inférieure à 10-8, on peut penser qu’elle sera inférieure à 10-100 à partir d’un indice n + p tel que :
8
10 100
4p 10
soit selon l’écran suivant : 153
p
Autrement dit à partir de n + p = 153 + 15 = 168, l’erreur commise est moindre que 10–100.
2. Accélération de la méthode d’Archimède
2.1
Rapidité de convergence de ces suites
Commençons par étudier à l’aide du tableur la convergence vers de la suite (Sn). On a au préalable besoin d’écrire une fonction donnant la liste des valeurs de la suite depuis la valeur initiale jusqu’à une valeur de rang n quelconque. Ces listes seront récupérées dans le tableur, pour en permettre l’étude.
Nous voici en mesure de faire l’étude de la vitesse de convergence de la suite (Sn) dans le tableur TI- Nspire.
On commence par remplir avec listsn la première colonne du tableur avec la liste des termes de la suite jusqu’à S10 par exemple: il suffit dans la zone en grisé au dessus de la colonne A de saisir listsn(20).
Par ailleurs dans la colonne B, on peut saisir A2 A1
, puis recopier vers le bas pour obtenir les premières valeurs de n 1
n
S S
dont la limite, si elle existe, donne le coefficient de convergence de la suite (Sn).
Les résultats obtenus sont fort éloquents, et ce malgré le petit nombre de termes avec lesquels on travaille : on se rapproche très vite de 0,258.
Il semble donc que le coefficient de convergence de la suite (Sn) soit égal à 1/4.
8 La petite dégradation que l’on observe vers le bas du tableur est due à un phénomène de différence évanescente.
En d’autres termes : 1
1
n 4 n
S S , ce qui signifie que l’erreur commise en remplaçant Sn par se comporte approximativement comme une suite géométrique de raison 1/4.
Montrons donc ce résultat.
Théorème
La vitesse de convergence de la suite (Sn) est 1
4. En d’autres termes, 1 1
lim .
4
n
n n
S S
Démonstration
Nous allons utiliser l’expression de Sn en fonction de n obtenue au début du chapitre. On sait que :
1
2 sin 1
2
n
n n
S
.
On peut utiliser le développement en série entière du sinus valable pour tout x réel car le rayon de convergence de cette série est infini. Rappelons que :
3 5 2 1
sin ... 1 ...
3! 5! 2 1 !
k k
x x x
x x
k
Par conséquent, on peut écrire pour tout entier naturel n :
3 5 2 1
1
1 1 1 1
3 5 2 1
2 2 4 4 2 2
2 1
3 5
2 4 2 2
1
1 1 1
2 ... 1 ...
2 3! 2 5! 2 2 1 ! 2
1 1 1
... 1 ...
3! 2 5! 2 2 1 ! 2
1 1 1 1
... ...
3! 2 4 5! 2 4 2 1 ! 2 4
4
k n k
n n n n n
k k
n n kn k
k k
n n k kn
n
S k
k k a a2
2 ... ...
4 n 4aknk où on a posé
2 1 2
1 2 1 ! 2
k k
k k
a k , ak étant indépendant de n9. D’autre part, remarquons que :
2 1 2 1/ 2 1/ 3
2 2 2 2
1
2 1 ! 2 2 1 ! 2 2 2
k k k
k k k
k
k k
a c
k k
où c est une constante, égale à
3
22
, indépendante de k.
Ces calculs préliminaires étant faits, nous sommes en mesure de déterminer la vitesse de convergence de la suite (Sn). En effet :
1 2 2
1 1 ( 1)( 1)
1 2 2 1
1
1 2 2
2 1 ( 1)
1 ... ...
... ...
4 4
4 4 4 4
... ... 1 ... ...
4 4 4 4 4 4
k k
n k n
n n kn k n
n
k k
n
n
n n kn n k n
a a a
a a a
S
a a a a a
S a
9 Remarquons que l’on développe en série le sinus par rapport à l’entier k, notre indice de sommation, alors que l’entier n est fixé au départ.
dont il faut déterminer la limite quand n tend vers l’infini.
Montrons pour commencer que :
2
1 ( 1) 1
lim ... ...
4 4
k
n k n
n
a
a a a
soit que
2
( 1)
lim ... ... 0
4 4
k
n k n
n
a a
.
Or :
2 3 2 2
3 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2
2
... ... ... ... 1 ... ...
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 4 1
4
k k
k
n n k n n n k n n n k n
n n
a a
a c c c c c c
c c
qui tend bien vers 0 quand n tend vers l’infini.
Ce que nous avons prouvé pour le dénominateur fonctionne aussi pour le numérateur qui lui aussi tend vers a1 quand n tend vers l’infini.
Si bien que 1 1
lim 4
n
n n
S S
: on peut affirmer que la suite converge vers avec une vitesse de convergence égale à 1
4. En d’autres termes, la suite
Sn
se comporte à peu près comme une suite géométrique de raison 14.
Qu’en est-il des suites (Tn) et (cn) ?
Un raisonnement analogue au précédent montrerait que la suite (Tn) converge vers avec un coefficient de convergence égal à 1
4.
Enfin, pour ce qui concerne la suite (cn), une démonstration directe est possible. Comme
1
1 2
n n
c c
, on a 12 1
2
n n
c c
et 2cn12 1 cn puis 2cn12 2 cn 1, si bien que :
1 1
2 1 1
1 1 1 1
lim lim lim
1 2 1 2 1 4
n n
n n n
n n n
c c
c c c
.
2.2
Une première accélération de convergence
On sait que 1 1
lim .
4
n
n n
S S
En posant en Sn Sn, on peut écrire que 1 1
lim .
4
n
n n
e e
La
question est de savoir comment cette information sur l’erreur peut servir à accélérer la convergence.
Une approche intuitive
Commençons par un raisonnement plus qualitatif que rigoureux, mais qui décrit l’idée de ce qui se passe. La limite précédente signifie que, pour n suffisamment grand, 1 1
n 4 n
e e . En d’autres termes, l’erreur se comporte, pour des valeurs de n suffisamment grandes, comme une suite géométrique de raison 1
4 : elle est divisée par 4 à chaque étape du calcul.
Par suite de proche en proche 1 1 12 2 1 0
4 4 ... 4
n n n n
e e e e d’où l’on déduit 1 0
n 4n
S e . Plus rigoureusement, on doit pouvoir écrire :
0
1 1
4 4
n n n
S e o pour n tendant vert l’infini.
L’idée de cette accélération de convergence consiste à faire disparaître le terme d’erreur en 1 0 4ne pour fabriquer une autre suite
Sn1 dont la convergence vers doit être plus rapide. Or cette élimination peut se faire algébriquement, à partir de :0
1 1 0 1
1 1
4 4
1 1
4 4
n n n
n n n
S e o
S e o
Rien n’est plus facile que d’éliminer le premier terme d’erreur : il suffit de multiplier la deuxième égalité par 4 et de lui soustraire la première.
Ce qui donne :
0
1 0
1 1
4 4
1 1
4 4
4 4
n n n
n n n
S e o
S e o
puis :
1
4 3 1
n n 4n
S S o d’où enfin :
4 1 1
3 4
n n
n
S S
o
, pour n tendant vers l’infini.
Bref, on peut considérer la suite
Sn1 définie par 1 4 1 3n n
n
S S
S : la disparition du terme d’erreur en 1
4n , et le fait que cette erreur soit négligeable devant 1
4n , fait espérer une convergence vers 10 bien plus rapide que celle de (Sn).
C’est ce que montre en tout cas la feuille de calcul ci-après. Remarquons que dans B2 (resp. E3) est calculé =(A2–)/(A1–) (resp. =(D3–)/(D2–)), qui donnent l’un et l’autre une bonne estimation de la vitesse de convergence de ces deux suites.
On voit apparaître pour la nouvelle suite
Sn1 un coefficient de convergence très proche de 0,0625 soit très probablement 116.
10 Car cette suite converge bien vers !
Une approche plus rigoureuse
Le développement en série de Sn vu précédemment permet de déduire un développement limité à l’ordre k de Sn, pour n’importe quel entier naturel k :
1 2
2
... 1
4 4 4 4
k
n n n kn kn
a
a a
S o pour n tendant vers l’infini.
Par conséquent :
1 2
1 1 2 2
1 2
2 2
... 1
4 4 4 4
... 1
4 4 4 4 4 4 4
k
n n n kn k kn k
k
n n k kn kn
a
a a
S o
a
a a
o
car 1 1 1 1
4kn k 4kn 4k 4kn o o o .
D’autre part, on sait que 1 4 1 1 1
3 3
n n n n
n n
S S S S
S S
d’où l’on déduit :
1
2
2
1 1 2
1 2 2 1 2 2
2
1 2
1 2 2
2 2
1 4 1 4
1 1 4 1
... ...
4 4 4 3 4 4 4 4
1 4 1 4 1 4 1
1 1 ... 1
4 3 4 3 4 3 4
... 1
4 4 4
k k k
n n n kn k n n kn k kn
k k
n n kn k kn
k
n kn kn
a a
a a
a a
S o
a
a a
o b
b o
en posant 1 4
4 1 3
i i
i i
b a
pour i entier compris entre 2 et k.
Nous voilà donc avec un développement limité à l’ordre k de la suite
Sn1 au voisinage de l’infini.On retrouve le fait que la suite
Sn1 converge vers plus rapidement que
Sn . Le terme d’erreur est en 124 n O
, contre 1 4n O
pour la suite (Sn).
Sinon le calcul suivant permet de le prouver avec la définition :
1 22
2
1 1
lim lim 4 lim 0
4 4
n n
n n n n
n
n
b
S b
S a a
.
Par ailleurs, on peut déterminer la vitesse de convergence de la suite
Sn1 :1 222
1
1 2
2 2
1 1
lim lim 4
4 16
4
n n
n n
n
n
b S
S b
ce qui prouve que, comme on l’a conjecturé au tableur, que la convergence est géométrique avec un coefficient de convergence égal à 1
16.
2.3
Accélération de convergence en cascade
Pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? Car rien n’empêche d’accélérer l’accélérée, et de recommencer aussi loin qu’on veut…
Comme la vitesse de convergence de
S1n est de 116, on peut en conclure que :
0
1 1 1
n 16n
S e ou
0
1 1
2
1 1
16 4
n n n
S e o . La convergence peut donc de nouveau être accélérée en remplaçant la suite
S1n par la suite
Sn2 définie par :1 1
2 16
15
n n
n
S S
S
(voir le tableur ci-dessus).
Sans détailler les calculs, si l’on repart du développement limité de S1n :
1 2
2
... 1
4 4 4
k
n n kn kn
b b
S o
tout revient cette fois à éliminer le terme en 22 4 n
b pour récupérer un développement limité du type :
2 3
3
... 1
4 4 4
k
n n kn kn
c c
S o qui indique une vitesse de convergence de 13
4 . On peut poursuivre avec la suite
Sn3 définie par :3 2 2
3 3
4
4 1
n n
n
S S
S
et un coefficient de convergence de 14 1 4 256. Plus généralement, la suite
Snk est définie par4
4 1
k k k
k n n
n k
S S
S
et son coefficient de convergence est de 1 4k.
Ce procédé d’accélérations de convergence successives, décrit par Richardson en 1927 a été approfondi par Romberg en 1955 : il s’appelle de nos jours le schéma de Romberg-Richardson11.
Les accélérations successives peuvent être mises en œuvre dans le tableur, comme le montre l’écran qui suit. Comme précédemment, dans la colonne A figurent les termes S0 à S10 de la suite initiale. Puis dans les colonnes suivantes, à partir de B, on retrouve les différentes suites accélérées, dont le coefficient de convergence est 1
4k , avec une valeur de k qui est rappelée dans la première ligne à partir de B1. Il suffit par exemple en B2 de saisir :
$1
$1
4 2 1
4 1
b b
a a
puis de recopier cette formule vers le bas, puis vers la droite colonne par colonne (/C puis /V) en décalant à chaque fois la place du premier terme, pour voir le tableau se remplir comme ci-dessous.
On dispose ci-dessous de 5 suites convergeant de plus en plus vite vers , en allant vers la droite : on observe en particulier que les décimales se stabilisent de plus en plus vite.
Ainsi la valeur approchée obtenue de en E16 est : 3,1415926535894…
quasiment aussi bien que ce que donne la calculatrice !
11 C’est le même type de procédé qu’on met en œuvre pour accélérer le calcul approché d’intégrales par la méthode des trapèzes.
3. Utilisation d’une série en arctangente
Un des défauts de la méthode d’Archimède réside en sa relative lenteur de convergence, convergence qu’on peut au demeurant accélérer. Mais demeure le problème, pour l’utilisation de la TI-Nspire, des racines carrées qui interviennent et qui s’imbriquent, nous empêchant, comme nous l’avons fait pour d’autres suites, de travailler en mode exact.
Pour obtenir plus de décimales de , il faut chercher ailleurs. Les séries vont nous apporter une réponse intéressante, car elles ne font intervenir que les quatre opérations élémentaires de l’arithmétique. Elles ont commencé à jouer un rôle essentiel dans les mathématiques à partir de la seconde moitié du XVIIe siècle, sonnant le glas dans le calcul approché de des méthodes géométriques.
3.1
La série de Gregory
Pour x 1, on a arctan 3 5 ...
1 2 1 ...3 5 2 1
n n
x x x
x x
n Démonstration
On sait d’après la somme des termes d’une suite géométrique que, pour tout réel t, on a :
2 1
2 12 4 2
2 2
1 1
1 ... 1
1 1
n n
n n t t
t t t
t t que l’on peut réécrire :
1 2 22 4 2
2 2
1 1 ... 1 1
1 1
n n n t n
t t t
t t .
Supposons donc que x soit un nombre réel tel que x 1 et prenons la primitive de chacun des membres de l’égalité précédente s’annulant pour x = 0.
On obtient :
3 5 2 1 2 2
1 0 2
arctan ... 1 1
3 5 2 1 1
n x n
n n
x x x t
x x dt
n t
Par ailleurs :
1 2 22 2 22 2 2 2 30 0 0
1 1
1 1 2 3 2 3
x n
x n
x nn t t n x
dt dt t dt
t t n n car x 1.
En d’autres termes, on a bien prouvé que :
3 5
2 1lim arctan ... 1 0
3 5 2 1
n n n
x x x
x x
n ,
Ce qui peut s’écrire :
3 5
2 1arctan ... 1 ...
3 5 2 1
n n
x x x
x x
n pour x réel tel que x1. 3.2
La formule de Leibniz
En particulier, en faisant x = 1, on trouve que
1 1 1
11 ... 1 ...
4 3 5 7 2 1
n
n
célèbre formule découverte indépendamment par Gregory (1638-1675) et Leibniz (1646-1716) vers 1670. L’ère du calcul approché de avec des séries était ouverte.
Plus précisément, si on pose 1 1 1 1 ...
1 13 5 7 2 1
n
un
n , on sait d’après le calcul précédent que quel que soit n entier naturel, 1
4 2 3
un
n soit 4
4 2 3
un
n . Ce que l’on peut traduire en terme d’intervalle par :
4 4
4 ; 4
2 3 2 3
un un
n n
et qui signifie que 4un est une valeur approchée de à 4
2n3 près.
Mais on peut encore être plus précis car on travaille avec une série alternée : on sait alors que la limite est encadrée par deux termes consécutifs un et u2n + 1 de la série.
On est donc sûr que 4
est dans l’intervalle
un;un1
12, de longueur 1 12 3
n n
u u
n donc est dans l’intervalle
4un; 4un1
de longueur 42n3. En tout état de cause la convergence risque d’être bien lente : pour avoir une valeur approchée de à moins de 10–3 près, il suffira de trouver n tel que
4 3
2 3 10
n soit 2n 3 4000 ou n 1999.
12 Ou un1;un suivant l’ordre des termes de la suite...
Une fonction donnant une valeur approchée de peut alors être écrite sur la TI-Nspire. Il ne faut pas oublier que pour avoir une erreur au plus égale à e sur , elle doit être moindre que e/4 sur /4.
La convergence est lente, comme on s’y attendait, et les temps de calculs pour avoir une erreur inférieure à 0,001 sont de l’ordre de plusieurs minutes. Pas question en tout cas d’obtenir une précision importante à la calculatrice13 ! Remarquons enfin que, puisque nous sommes sorti dans ce cas de la boucle au moment où n a pris une valeur impaire, les valeurs obtenues sont des valeurs approchées par excès. On peut par exemple écrire à propos du dernier résultat renvoyé :
3,141597653702 – 0,00001 = 3,141587653702 < < 3,141597653702
13 Sans compter le cumul des erreurs d’arrondi qui altère à coup sûr les chiffres de réserve, voire le dernier chiffre affiché dans une telle somme. Voir le chapitre Arithmétique de la calculatrice pour un exemple analogue.
Pire encore, pour passer de l’erreur 0,1 à l’erreur 0,01, il faut ajouter 180 itérations et pour passer de l’erreur 0,01 à l’erreur 0,001, il faut en ajouter 1800 itérations ; puis 18000 de plus pour arriver à l’erreur 0,0001. Bref les performances se dégradent sérieusement quand n grandit.
Revenons sur l’erreur obtenue. On sait que :
1 1 2 220
1 1 1
arctan1 1 ... 1 1
4 3 5 2 1 1
nn n t
n t dt
d’où :
1 2 220
1 1 1
1 ... 1
4 3 5 2 1 1
n n
tnt dt.Nous avons majorée l’erreur en majorant cette intégrale. Mais nous pouvons aussi l’encadrer : si 0 ; 1
t , alors 1 1 t2 2 soit 1 1 2 2 1 t 1
. On peut donc écrire :
2 2
1 2 2 1 1 2 2
0 0 2 0
1
2 1
t n dt
tnt dt
t n dt
2 2 1 0 2
1 1
2 2 3 1 2 3
tn dt n t n
Nous obtenons maintenant l’encadrement suivant de l’erreur :
1
12 2 3 4 2 3
un
n n ,
encadrement qui montre que l’erreur obtenue est en 1
2 3
O n
. Elle est donc irrémédiablement de mauvaise qualité.
Pour déterminer la vitesse de convergence de cette suite, si elle existe, il faudrait savoir si l’erreur est équivalente à la borne inférieure ou à la borne supérieure ou éventuellement aussi à n’importe quel nombre situé entre les deux. L’expérimentation permet de répondre à la question14.
Le tableur de la TI-Nspire nous suggère une idée du résultat. Ouvrons une nouvelle activité et définissons la suite (un) :
14 L’idée est traitée dans l’excellent document de Daniel Perrin, situé sur son site de l’université de Paris-Sud http://www.math.u- psud.fr/~perrin/Conferences/L_experimentation_en_maths/CopirDP.pdf.
