1/ hn(x) =nln (x+ 1) + x
x+ 1 dérivéble sur]−1; +∞[ comme composée et somme.
h′n(x) = n
1 +x+ 1 (x+ 1)2.
Or x >−1⇒1 +x >0etn∈N.Donch′n(x)>0et hn est croissante sur]−1; +∞[. Commehn(0) = 0,∀x∈]−1; 0[, hn(x)<0,et de même ∀x∈]0; +∞[, hn(x)>0 2/ f1(x) =xln (1 +x)
2. 1. f1 est dérivable sur]−1; +∞[comme composée et somme.f1′(x) = ln (1 +x) + x 1 +x. On a donc bienf1′(x) =h1(x).
Plus généralement,fn(x) =xnln (1 +x)est dérivable sur]−1; +∞[pour les mêmes raisons etfn′ (x) =nxn−1ln (1 +x) + xn
1 +x ⇒fn′ (x) =xn−1
nln (1 +x) + x 1 +x
donc fn′ (x) =xn−1hn(x) 2. 2. Sinest impair(n= 2p+ 1),n−1est pair et∀x∈]−1; +∞[, xn−1>0. fn′ est donc du signe dehn(x).
lim
x→+∞xn= +∞
x→+∞lim ln (1 +x) = +∞ ⇒ lim
x→+∞fn(x) = +∞ et
lim
x→−1+x2p+1=−1 lim
x→−1+ln (1 +x) =−∞ ⇒ lim
x→−1+fn(x) = +∞
D’ou le tableau de variationsci-dessous :
2. 3. Sinest pair,n= 2petn−1est impair et , xn−1 change de signe. On peut faire le tableau de signes suivant : lim
x→+∞xn= +∞
x→+∞lim ln (1 +x) = +∞ ⇒ lim
x→+∞fn(x) = +∞ et
lim
x→−1+x2p= 1 lim
x→−1+ln (1 +x) =−∞ ⇒ lim
x→−1+fn(x) =−∞
D’ou le tableau de variations :
f 2p+1‘( x ) x
f2p+1 ( x )
- 1 + ∞
- +∞
0
0
0 +
n = 2 p + 1 impair
f 2p‘( x ) x
f2p ( x )
- 1 + ∞
- ∞
+ ∞ +
n = 2 p pair 3/ C2est au-dessus deC1 si et seulement sif2(x)≥f1(x)c′est à dire :
x2ln (1 +x)−xln (1 +x)≥0⇔ x2−x
ln (1 +x)≥0⇔x(x−1) ln (1 +x)≥0
4/
x x - 1 ln ( x+ 1)
-1 0 + ∞
- -
- +
- -
f2(x) - f1(x)
- + 1 +
0 0
+ + +
etC2 est au-dessus deC1 pourx >1. 1 2
-1 1 2
C1
C2
C2 au dessus de C1
1
