comme composée et somme

1/ hn(x) =nln (x+ 1) + x

x+ 1 dérivéble sur]−1; +∞[ comme composée et somme.

h^′_n(x) = n

1 +x+ 1 (x+ 1)².

Or x >−1⇒1 +x >0etn∈N.Donch^′_n(x)>0et hn est croissante sur]−1; +∞[. Commehn(0) = 0,∀x∈]−1; 0[, hn(x)<0,et de même ∀x∈]0; +∞[, hn(x)>0 2/ f1(x) =xln (1 +x)

2. 1. f1 est dérivable sur]−1; +∞[comme composée et somme.f1^′(x) = ln (1 +x) + x 1 +x. On a donc bienf1^′(x) =h1(x).

Plus généralement,fn(x) =xⁿln (1 +x)est dérivable sur]−1; +∞[pour les mêmes raisons etf_n^′ (x) =nxⁿ⁻¹ln (1 +x) + xⁿ

1 +x ⇒f_n^′ (x) =xⁿ⁻¹

nln (1 +x) + x 1 +x

donc f_n^′ (x) =xⁿ⁻¹h_n(x) 2. 2. Sinest impair(n= 2p+ 1),n−1est pair et∀x∈]−1; +∞[, xⁿ⁻¹>0. f_n^′ est donc du signe deh_n(x).

lim

x→+∞xⁿ= +∞

x→+∞lim ln (1 +x) = +∞ ⇒ lim

x→+∞fn(x) = +∞ et



 lim

x→−1⁺x^2p+1=−1 lim

x→−1⁺ln (1 +x) =−∞ ⇒ lim

x→−1⁺fn(x) = +∞

D’ou le tableau de variationsci-dessous :

2. 3. Sinest pair,n= 2petn−1est impair et , xⁿ⁻¹ change de signe. On peut faire le tableau de signes suivant : lim

x→+∞xⁿ= +∞

x→+∞lim ln (1 +x) = +∞ ⇒ lim

x→+∞fn(x) = +∞ et



 lim

x→−1⁺x^2p= 1 lim

x→−1⁺ln (1 +x) =−∞ ⇒ lim

x→−1⁺fn(x) =−∞

D’ou le tableau de variations :

f 2p+1‘( x ) x

f2p+1 ( x )

- 1 + ∞

- +∞

0

0

0 +

n = 2 p + 1 impair

f 2p‘( x ) x

f2p ( x )

- 1 + ∞

- ∞

+ ∞ +

n = 2 p pair 3/ C2est au-dessus deC1 si et seulement sif2(x)≥f1(x)c^′est à dire :

x²ln (1 +x)−xln (1 +x)≥0⇔ x²−x

ln (1 +x)≥0⇔x(x−1) ln (1 +x)≥0

4/

x x - 1 ln ( x+ 1)

-1 0 + ∞

- -

- +

- -

f2(x) - f1(x)

- + 1 +

0 0

+ + +

etC2 est au-dessus deC1 pourx >1. ^{1 2}

-1 1 2

C1

C2

C2 au dessus de C1

1