A5913. Toujours possible MB
:Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :
Q1 - un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.
Q2 - un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.
Q3 - un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.
Q4 - un entier positif ou nul sous la forme a2 + b2 – c2 avec a,b,c entiers positifs distincts , 0 < a < b < c.
Q5 - un entier quelconque sous la forme 12 22 …. n2 avec un certain entier n et le choix convenable du signe « + » ou « – » précédant chacun des termes k² avec k = 1,2...,n Nota: les cubes parfaits peuvent être négatifs.
Q1) Soit A = ( –k –3)³ = –k³ – 9k² – 27k – 27 B = k³
C = (3k + 5)² = 9k² + 30k + 25 A+B+C = 3k – 2
Donc tout nombre de la forme 3k –2 est la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.
Q2) Un nombre entier n est donné, dans la progression arithmétique de premier terme n+2 et de raison –3 ou +3 , il y a au moins un cube parfait : il existe k et X entiers tels que n+2 = X³ + 3k , n = X³ + (3k – 2)
Comme 3k – 2 est la somme d’un carré et de deux cubes, en conséquence, n est la somme d’un carré et de trois cubes.
Exemples
n = 1333 n+2 = 1335 = 1728 – 131*3 = 12³ + 3k avec k = – 131 –k – 3 = 128 3k + 5 = –388 1333 = 12³ + 128³ – 131³ + 388² n =1333 n+2 = 1335 = 9³ + 202*3 k = 202 –k – 3 = – 205 3k + 5 = 611 1333 = 9³ + 202³ – 205³ + 611²
Q3) Pour tout entier p, p³ ≡ p modulo 6, donc étant donné un entier n quelconque, on peut toujours trouver un entier p tel que n + p³ ≡ 0 modulo 6 Si n + p³ = 6k, n = (–p)³ + (k – 1)³ + (–k)³ +(–k)³ + (k+1)³
Tout entier est bien somme de cinq cubes parfaits.
Exemple n = 517 517 + 5³ = 642 = 6k avec k = 107 517 = – 5³ +106³ – 107³ – 107³ + 108³
Q4) (b+1)² – b² = 2b + 1
Le nombre n positif ou nul est donné. On choisit a suffisamment grand pour que ( a² – n ) soit positif, impair, et que b = (a² – n – 1)/2 vérifie b > a.
C’est à dire a² – n – 1 > 2a, a² – 2a – (n+1) > 0, a > 1 + √ (n+2) .
Alors
n = a² – (2b+1) = a² + b² – (b+1)² Exemples
n = 0 a = 3 b = 4 0 = 3² + 4² – 5² n = 1 a = 4 b = 7 1 = 4² + 7² – 8² n = 3 a = 4 b = 6 3 = 4² + 6² – 7² n = 4 a = 5 b = 10 4 = 5² + 10² – 11² n = 5 a = 4 b = 5 5 = 4² + 5² – 6² Q5)
1 = 1² ;
2 = 1² – 2² + 3² – 4² + 5² + 6² – 7² ;
3 = 1² +2² + 3² – 4² – 5² – 6² + 7² – 8² + 9² ;
Pour tout n on a : n² – (n+1)² – (n+2)² + (n+3)² = 4 4 = (1² – 2² – 3² + 4²);
5 = 1 + 4 = 1² + (2² – 3² – 4² + 5²) ;
6 = 2 + 4 = (1² –2² + 3² – 4² + 5² + 6² – 7² )+(8² –9²– 10²+ 11²) ;
7 = 3 + 4 = (1² +2² + 3² – 4² – 5² – 6² + 7² – 8² + 9²) +( 10² – 11² – 12² + 13²) 8 = 4 + 4 = (1² – 2² – 3² + 4²) + (5² – 6² – 7² + 8²)
9 = 1 + 4 + 4 = 1² + (2² – 3² – 4² + 5²) + (6² – 7² – 8² + 9²) etc...
Tout nombre n peut s’écrire a+4p avec a = 0, 1, 2, ou 3 et p entier donc tout nombre entier peut s’écrire comme 12 22 …. n2
