E516 Les deux œufs au plat [*** à la main]
Solution
Soit N le nombre maximum de lancers que Diophante s’autorise. Il ne peut pas se permettre de lancer son 1er œuf à un étage plus élevé que N car si l’œuf se casse à une hauteur H > N, il lui reste un seul œuf et N-1 lancers pour tester H-1 hauteurs distinctes.
On a donc un 1er lancer à l’étage N.
- Si l’œuf se casse, Diophante teste la résistance du 2ème œuf en le lançant du 1er étage, puis du 2ème, etc… jusqu’au (N-1)ème étage. De cette façon, il réalise bien au
maximum N lancers et détermine le degré exact de résistance de ses œufs si le 2ème œuf se casse à l’un quelconque des étages compris entre 1 et N-1.
- Si l’œuf ne se casse pas, on est ramené au problème précédent mais avec N-1 lancers possibles et l’étage de départ est le Nème étage.
Le 2ème lancer du 1er œuf a donc lieu à l’étage N + (N – 1) = 2N – 1.
- Si l’œuf se casse, Diophante teste la résistance du 2ème œuf en le lançant du (N+1)ème étage, puis du (N+2)ème, etc… jusqu’au (2N-2)ème étage. De cette façon, il réalise bien au maximum N-1 lancers et comme précédemment détermine le degré exact de
résistance de ses œufs si le 2ème œuf se casse entre les étages (N+1) et (2N-2).
- Si l’œuf ne se casse pas, on est ramené au problème précédent mais avec N-2 lancers possibles et l’étage de départ est le (2N-1)ème étage.
Et ainsi de suite, si le 1er œuf ne se casse toujours pas, Diophante monte successivement aux étages N, 2N – 1, 2N- 1 + N –2 = 2N – 3, etc…, N+ (N – 1 ) + (N – 2 ) +…..+2 + 1 = N(N+1)/2 avec la condition N(N+1)/2 63. Il en résulte que N2N1260. Cette inégalité est satisfaite pour N 11.
Diophante se fixe donc 11 lancers au maximum et se rend successivement aux étages n° 11, 21, 30, 38, 45, 51, 56, 60, 63 avec son 1er œuf s’il reste intact après le lancer de chacun des étages intermédiaires. Il utilise son 2ème œuf pour tester dans l’ordre montant les étages situés entre deux niveaux intermédiaires.
