Ex1. On définit la suite (

mathsbdp.fr raisonnement par récurrence tspé Ex1. On définit la suite (𝑢_𝑛) par 𝑢₀ = 0 et pour tout entier 𝑛 ≥ 0 par 𝑢_𝑛+1 = √4 + 𝑢_𝑛² Conjecturer une expression de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛 puis démontrer cette conjecture.

𝑢₁ = √4 = 2 ; 𝑢₂ = √8 = 2√2 ; 𝑢₃ = √12 = 2√3 ; 𝑢₄ = √16 = 2√4 = 4 𝑢₅ = √20 = 2√5

On peut conjecturer l’expression 𝑢_𝑛 = 2√𝑛 Preuve par récurrence :

Soit 𝑃_𝑛 la propriété : pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑢_𝑛 = 2√𝑛 Initialisation : pour 𝑛 = 0, 2√0 = 0 = 𝑢₀ donc 𝑃₀ vraie Hérédité : on suppose que pour 𝑛 ≥ 0 entier, on a 𝑃_𝑛 vraie.

A-t-on 𝑃_𝑛+1 vraie, c’est-à-dire a-t-on 𝑢_𝑛+1 = 2√𝑛 + 1 ? 𝑃_𝑛 vraie donc 𝑢_𝑛 = 2√𝑛

𝑢_𝑛+1 = √4 + 𝑢_𝑛² = 𝑢_𝑛+1 = √4 + (2√𝑛)² = √4 + 4𝑛 = √4(1 + 𝑛) = 2√𝑛 + 1 donc 𝑃_𝑛+1 est vraie.

Conclusion : 𝑃₀ vraie et 𝑃_𝑛 héréditaire

donc par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢_𝑛 = 2√𝑛

Ex2. Soit (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) les suites définies par : 𝑢₀ = 3 et, pour tout entier 𝑛 ≥ 0, 𝑢_𝑛+1 = 2𝑢_𝑛− 1.

𝑣₀ = 1 et, pour tout entier 𝑛 ≥ 0, 𝑣_𝑛+1 = 2𝑣_𝑛 + 3.

1. Montrer par récurrence que, pour tout 𝑛 ≥ 0, a) 𝑢_𝑛 = 2^𝑛+1 + 1

•Soit 𝑃_𝑛 la propriété : pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑢_𝑛 = 2^𝑛+1+ 1

• Initialisation : pour 𝑛 = 0, 2⁰⁺¹ + 1 = 2 + 1 = 3 = 𝑢₀ donc 𝑃₀ vraie

• Hérédité : on suppose qu’il existe un entier 𝑛 ≥ 0 tel que 𝑃_𝑛 soit vraie.

A-t-on 𝑃_𝑛+1 vraie, c’est-à-dire a-t-on 𝑢_𝑛+1 = 2^𝑛+2 + 1 ? 𝑃_𝑛 vraie donc 𝑢_𝑛 = 2^𝑛+1+ 1

𝑢_𝑛+1 = 2𝑢_𝑛 − 1 = 2(2^𝑛+1 + 1) − 1 = 2 × 2^𝑛+1 + 2 − 1 = 2^𝑛+2+ 1 donc 𝑃_𝑛+1 est vraie.

Conclusion : 𝑃₀ vraie et 𝑃_𝑛 héréditaire

donc par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢_𝑛 = 2^𝑛+1+ 1

b) 2𝑢_𝑛− 𝑣_𝑛 = 5

• Soit 𝑃_𝑛 la propriété : pour tout 𝑛 entier naturel, 2𝑢_𝑛− 𝑣_𝑛 = 5

• Initialisation : pour 𝑛 = 0, 2𝑢₀ − 𝑣₀ = 2 × 3 − 1 = 5 donc 𝑃₀ vraie

• Hérédité : on suppose qu’il existe un entier 𝑛 ≥ 0 tel que 𝑃_𝑛 soit vraie.

A-t-on 𝑃_𝑛+1 vraie, c’est-à-dire a-t-on 2𝑢_𝑛+1− 𝑣_𝑛+1 = 5 ? 𝑃_𝑛 vraie donc 2𝑢_𝑛 − 𝑣_𝑛 = 5

2𝑢_𝑛+1− 𝑣_𝑛+1 = 2(2𝑢_𝑛− 1) − (2𝑣_𝑛+ 3) = 4𝑢_𝑛− 2 − 2𝑣_𝑛 − 3

= 2(2𝑢_𝑛 − 𝑣_𝑛) − 5 = 2 × 5 − 5 = 5 donc 𝑃_𝑛+1 est vraie.

• Conclusion : 𝑃₀ vraie et 𝑃_𝑛 héréditaire donc

par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛, on a 2𝑢_𝑛− 𝑣_𝑛 = 5

2. En déduire l’expression de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛.

2𝑢_𝑛 − 𝑣_𝑛 = 5

⇔ 𝑣_𝑛 = 2𝑢_𝑛 − 5 = 2(2^𝑛+1 + 1) − 5 = 2^𝑛+2− 3

Ex3. On considère la suite (𝑢_𝑛) définie sur ℕ par 𝑢₀ = 1 et, pour tout 𝑛 ≥ 0, 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 + 2𝑛 + 3.

Démontrer que pour tout 𝑛 de ℕ, 𝑢_𝑛 > 𝑛².

• Soit 𝑃_𝑛 la propriété : pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑢_𝑛 > 𝑛²

• Initialisation : pour 𝑛 = 0, 𝑢₀ = 1 > 0² donc 𝑃₀ vraie

• Hérédité : on suppose qu’il existe un entier 𝑛 ≥ 0 tel que 𝑃_𝑛 soit vraie.

A-t-on 𝑃_𝑛+1 vraie, c’est-à-dire a-t-on 𝑢_𝑛+1 > (𝑛 + 1)² ? 𝑃_𝑛 vraie donc 𝑢_𝑛 > 𝑛²

On ajoute aux 2 membres de l’inégalité 2𝑛 + 3 L’inégalité devient : 𝑢_𝑛+ 2𝑛 + 3 > 𝑛²+ 2𝑛 + 3 ①

or 𝑛 entier naturel donc 𝑛 ≥ 0, donc 𝑛²+ 2𝑛 + 3 > 𝑛²+ 2𝑛 + 1 donc 𝑛² + 2𝑛 + 3 > (𝑛 + 1)² car 𝑛²+ 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)²

L’inégalité ① devient : 𝑢_𝑛+1 > (𝑛 + 1)² donc 𝑃_𝑛+1 est vraie.

• Conclusion : 𝑃₀ vraie et 𝑃_𝑛 héréditaire

donc par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢_𝑛 > 𝑛²