Un système de radiocommunication est constitué d'une antenne linéaire à N capteurs distants de 20 λ :
Ce système reçoit des signaux source à bande étroite autour de la fréquence porteuse f0(de longueur d'onde λ0).
1) En adoptant le capteur 1 comme référence, exprimer les temps de propagation différentiels subits par un signal source provenant de la direction θ pour parvenir à chacun des capteurs de l'antenne.
2) Exprimer le vecteur des déphasages subits par un signal source provenant de la direction θ pour parvenir à chacun des capteurs. Exprimer ensuite le gain de l'antenne G(θ,W) dans la direction θ en fonction du jeu de pondérations W.
3) Toutes les pondérations sont fixées à
N1 . Calculer le gain de l'antenne G1(θ) dans la direction θ puis tracer ce gain en fonction de sin(θ).
4) Les capteurs sont bruités par un bruit gaussien spatialement blanc de puissance σ2. Calculer le gain en rapport signal à bruit pour une source provenant de la direction 0° (les pondérations sont toujours fixées à
N1 ).
5) Quels jeux de pondérations faudrait-il choisir pour maximiser le gain en rapport signal à bruit dans une direction θ quelconque ?
Capteurs Pondérations
Fronts d'onde
1*
* w w2 3*
* w wN
Sommation Sortie
θ
2 1
N 3 λ20
1) La différence de distance parcourue par le front d'onde pour parvenir au capteur i+1par rapport au capteur i est :λ sinθ
20 . Le temps de propagation différentiel induit est : sinθ 20
T . Les temps de propagation différentiels en prenant le capteur 1 comme référence sont alors :
θ
θ sin
) 2 1 ( )
( T0
i
Ti = − avec
0 10
T = f
2) Les déphasages subis par la porteuse (hypothèse bande étroite) sont alors :
) sin(
) 1 ) (
( 2 0
)
(θ π θ π θ
ϕi = e−j fTi =e−ji− et le vecteur des déphasages :
=
) (
) ( )
(
1
θ ϕ
θ ϕ θ φ
N
#
Le gain de l'antenne G(θ,W) dans la direction θ est alors :
∑
==
= N
i i i
T w
W W G
1
* ( ) )
( )
,
(θ φθ ϕ θ
3) Toutes les pondérations sont fixées à
N1 . En posant x = sin(θ)
( ) ( ) ( )
∑ ( )
∑
−=
− −
−
− −
=
−
− =
−
= −
=
= 1
0
21 1
) 1 1 (
sin 2 sin 2 1
1 1 1 1
) 1 (
N i
N x j x
j x N i j
x N j
i
x i j
x x e N
e N e e N
e N x N
G π
π π
π π π
π Finalement :
( )
N( )
xxx N G
sin 2 sin 2 ) 1
1( π
π
=
Tracer : Il s'agit d'un sinus cardinal périodisé (période x =1 Î π2
θ = ) analogue à la réponse en fréquence d'un fitre RIF dont toutes les pondérations sont fixées à
N1 . Le gain dans la direction pointée (θ =0) est égal à 1.
4) Soit Ps, la puissance du signal utile au niveau d'un capteur. Le rapport signal à bruit au niveau d'un capteur est simplement : 2
σs
P . En sortie de l'antenne, la puissance du signal utile est toujours Ps car le gain de l'antenne dans la direction utile 0 est égal à 1. En revanche, la puissance de bruit est la ° somme des puissances de bruit sur chacun des capteurs pondérées par les pondérations au carré :
∑ ( )
=
=
= N
i
s 1 N N
2 2
2 1 2σ σ
σ
Le rapport signal à bruit en sortie de l'antenne est alors : 2 σs
N P . Le gain en rapport signal à bruit est donc égal à N.
5) Pour obtenir le même gain pour un signal arrivant d'une direction θ quelconque, il faut choisir simplement comme vecteur de pondérations : le vecteur des déphasages observés dans la direction θ:
) (θ
θ =φ W
De cette façon, après application des pondérations conjuguées au niveau de chacun des signaux capteurs, les composantes de signal utile sont sommées en phase.
