St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2020-2021 - Correction
CB n
◦6 - Systèmes différentiels - Sujet 1
Résoudre le système différentiel suivant :
(S) :
x0 =−3y+ 2z+tet y0 =−2x−y+ 2z+et z0 =−x−3y+ 3z
On noteY =
x y z
, A=
0 −3 2
−2 −1 2
−1 −3 3
, B =
tet
et 0
.
(x, y, z) est solution du système (S) si, et seulement si Y est solution de l’équation différentielle (E1) : Y0=AY +B
On a : χA= (X−2)(X−1)(X+ 1) scindé à racines simples, doncA est diagonalisable.
On trouve A=P DP−1, avec P =
1 1 1 1 1 0 1 2 1
, D=
−1 0 0 0 1 0 0 0 2
, P−1=
1 1 −1
−1 0 1 1 −1 0
On pose Z =P−1Y =
z1 z2 z3
.Y est solution de(E1) si, et seulement siZ est solution de
(E2) : Z0 =DZ+P−1B
Z est solution de(E2) si, et seulement si
z10 =−z1+ (1 +t)et z20 =z2−tet
z30 = 2z3+et(t−1) .
En résolvant les trois équations différentielles linéaires du premier ordre, on trouve :
z1=C1e−t+et 1
2t+ 1 4
z2=C2et−1 2t2et z3=C3e2t−tet
(C1, C2, C3)∈R3
et par suite :
X=P Z=
x(t) =C1e−t+C2et+C3e2t+et
−1 2t2−1
2t+1 4
y(t) =C1e−t+C2et+et
−1 2t2+1
2t+ 1 4
z(t) =C1e−t+ 2C2et+C3e2t−et
t2+1 2t−1
4
(C1, C2, C3)∈R3
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2020-2021 - Correction
CB n
◦6 - Systèmes différentiels - Sujet 2
Résoudre le système différentiel suivant :
(S) :
x0 =x−y+et y0 =x−y+z+et z0 =x−y+ 2z
On noteY =
x y z
, A=
1 −1 0 1 −1 1 1 −1 2
, B=
et et 0
.
(x, y, z) est solution du système (S) si, et seulement si Y est solution de l’équation différentielle (E1) : Y0=AY +B
On a : χA=X(X−1)2 scindé, doncA est trigonalisable.
On a : E0(A) =Vect
1 1 0
etE1(A) =Vect
1 0
−1
; de plus,
1 1 1 1 0 0 0 −1 0
6= 0.
La dimension deE1n’est pas égale à la multiplicité de 1, doncAn’est pas diagonalisable. En complétant la famille de vecteurs propres par le premier vecteur de la base canonique, on obtient une base de R3 On trouve A=P T P−1, avec P =
1 1 1 1 0 0 0 −1 0
, T =
0 0 1 0 1 −1 0 0 1
, P−1 =
0 1 0
0 0 −1 1 −1 1
On pose Z =P−1Y =
z1 z2 z3
.Y est solution de(E1) si, et seulement siZ est solution de
(E2) : Z0 =DZ+P−1B
Z est solution de(E2) si, et seulement si
z10 =z3+et z20 =z2−z3
z30 =z3 .
En résolvant les trois équations différentielles linéaires du premier ordre, on trouve :
z1=C1+et(C3+ 1) z2=C2et−C3tet z3=C3et
(C1, C2, C3)∈R3
et par suite : X=P Z=
x(t) =C1+et(C2+ 2C3+ 1−C3t) y(t) =C1+et(C3+ 1)
z(t) =et(−C2+C3t))
(C1, C2, C3)∈R3
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