St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦6 - Systèmes différentiels - Sujet 1
Résoudre surRle système différentiel suivant :
x0(t) = 3x(t)−y(t)−z(t) +tet y0(t) =−x(t) + 3y(t)−z(t) +tet z0(t) =−x(t)−y(t) + 3z(t) +tet
SoitX0(t) =A X(t) +B(t), l’écriture matricielle du système différentiel avec
X(t) =
x(t) y(t) z(t)
, A=
3 −1 −1
−1 3 −1
−1 −1 3
et B(t) =
tet tet tet
Réduisons la matrice A. On a χA = det(XI3 −A) = (X −1)(X −4)2 et donc χA est scindé et Sp(A) ={1,4}. On a aussi E1(A) =Vect
1 1 1
etE4(A) =Vect
1 0
−1
,
0 1
−1
.
On conclut que A est diagonalisable et A = P DP−1 où P =
1 1 0
1 0 1
1 −1 −1
, D =
1 0 0 0 4 0 0 0 4
puis
P−1= 1 3
1 1 1
2 −1 −1
−1 2 −1
.
On pose Y(t) = (P−1 X)(t) =
y1(t) y2(t) y3(t)
, et on obtient :
X0(t) =A X(t) +B(t)⇐⇒(P−1X)0(t) =D(P−1X)(t) +P−1B(t)
⇐⇒Y0(t) =D Y(t) +P−1 B(t)
⇐⇒
y10(t) =y1(t) +tet y20(t) = 4y2(t) y30(t) = 4y3(t)
⇐⇒
y1(t) =
α+t2 2
et y2(t) =βe4t
y3(t) =γe4t
(α, β, γ)∈R3
où l’on a résolu la première EDL1 par la variation de la constante et les deux autres quasi-immédiatement.
Enfin,
X(t) =P Y(t)⇐⇒
x(t) =y1(t) +y2(t) y(t) =y1(t) +y3(t)
z(t) =y1(t)−y1(t)−y3(t)
L’ensemble des solutions du système différentiel est donc S =
t7→ t2 2 et
1 1 1
+Vect
t7→et
1 1 1
, t7→e4t
1 0
−1
, t7→e4t
0 1
−1
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦6 - Systèmes différentiels - Sujet 2
Résoudre surRle système différentiel suivant :
x0(t) =x(t) + 2y(t) + 2z(t) +te5t y0(t) = 2x(t) +y(t) + 2z(t) +te5t z0(t) = 2x(t) + 2y(t) +z(t) +te5t
SoitX0(t) =A X(t) +B(t), l’écriture matricielle du système différentiel avec
X(t) =
x(t) y(t) z(t)
, A=
1 2 2 2 1 2 2 2 1
et B(t) =
te5t te5t te5t
Réduisons la matrice A. On a χA = det(XI3 −A) = (X −5)(X + 1)2 et donc χA est scindé et Sp(A) ={−5,1}. On a aussiE5(A) =Vect
1 1 1
etE−1(A) =Vect
1 0
−1
,
0 1
−1
.
On conclut queAest diagonalisable etA=P DP−1 oùP =
1 1 0
1 0 1
1 −1 −1
,D=
5 0 0
0 −1 0
0 0 −1
puis
P−1= 1 3
1 1 1
2 −1 −1
−1 2 −1
.
On pose Y(t) = (P−1 X)(t) =
y1(t) y2(t) y3(t)
, et on obtient :
X0(t) =A X(t) +B(t)⇐⇒(P−1X)0(t) =D(P−1X)(t) +P−1B(t)
⇐⇒Y0(t) =D Y(t) +P−1 B(t)
⇐⇒
y01(t) = 5y1(t) +te5t y02(t) =−y2(t) y03(t) =−y3(t)
⇐⇒
y1(t) =
α+t2 2
e5t y2(t) =βe−t
y3(t) =γe−t
(α, β, γ)∈R3
où l’on a résolu la première EDL1 par la variation de la constante et les deux autres quasi-immédiatement.
Enfin,
X(t) =P Y(t)⇐⇒
x(t) =y1(t) +y2(t) y(t) =y1(t) +y3(t)
z(t) =y1(t)−y1(t)−y3(t)
L’ensemble des solutions du système différentiel est donc S =
t7→ t2 2 e5t
1 1 1
+Vect
t7→e5t
1 1 1
, t7→e−t
1 0
−1
, t7→e−t
0 1
−1
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