HAL Id: hal-00140006
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Preprint submitted on 4 Apr 2007
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To cite this version:
François Boulier. Triangularisation de systèmes de polynômes différentiels. 2000. �hal-00140006�
dierentiels
Franois Boulier 1
1.1 Introdution
L'algebredierentielleestunegeneralisationdel'algebreommutativedes-
tineeal'etudedessystemesd'equationsdierentiellesordinairesouauxderivees
partielles. Les premiers pas de la theorie sontdus a des herheurs Franais
(RiquieretJanet[Riq10,Jan20,Jan29℄)etAmeriains(Ritt[Rit32℄).Ladisi-
plineaensuiteprinipalementetedeveloppeeparlesequipesdeRittetKolhin
dontlesresultatssontsynthetisesdans[Rit50,Kol73℄. Elleaonnuunregain
d'inter^etenFranedepuislesannees80avelestravauxdePommaret[Pom78℄
d'unepartet deFliess[Fli89℄d'autrepart.Dans ehapitre,nouspresentons
un algorithme de (( resolution )) de systemes d'equations dierentielles poly-
nomiales, nomme Rosenfeld{Grobner [Bou94, BLOP95, BLOP97℄. Il est im-
plantedans lepaquetage diffalg qui fait partiede la bibliotheque standard
deMAPLEVversion5.
Resoudreunsystemedepolyn^omesdierentiels
Le systemesuivant omporte trois equations aux derivees partielles poly-
nomiales.Onherhedeuxfontions u(x;y)et v(x;y)dependant dedeuxva-
riablesxety.Lesequationssontdespolyn^omesenlesderiveesdesfontionsu
etv.
:
u
x
2
4u=0;
2
u
xy
v
y
u+1=0;
2
v
x 2
u
x
=0:
L'algorithmeRosenfeld{Grobnerpermet detransformeresystemeenunsys-
teme plus simple a partir duquel il est possible de determiner le nombre de
onstantesarbitrairesdontdependentlessolutionsetd'enalulerdesdevelop-
pementsdeTaylor.Surl'exemple,lessolutionssontdespolyn^omesdependant
de trois onstantes arbitraires
0 ,
1 et
2
. Un developpement de Taylor au
voisinagedel'originefournit:
u(x;y) =
0 +
3 x+
4 y+x
2
+ 2
4
3 xy+
1
2 y
2
;
v(x;y) =
1 +
2 x
4
3
4
3
0
4
0
y+
3
2 x
2
+
4 xy
+
0
3 y
2
+ 1
3 x
3
+
4
3 x
2
y+ 1
2 xy
2
+
4
6
3 y
3
:
Lesonstantes
3 et
4
sontalgebriquessur
0
;
1
;
2
etsatisfont 2
2
3
=4
0
; 2
4
=2
0
;
0 6=0:
Posons qu'uneequation dierentielle est onsequene des equations de
si elles'annule sur toutes lessolutions dusysteme,'est{a{dire si onpeut la
rajouterausystemesansenhangerlessolutions.C'estiileasdel'equation
u
y
2
2u=0:
Lessolutionsdesatisfontetteequationpourtouteslesvaleursdexet dey
etenpartiulier al'origine:
u
y (0;0)
2
2u(0;0)=0;
e qui impose une ontrainte algebrique entre deux oeÆients du develop-
pement de Taylor des solutions de . Pour aluler e dernier, Rosenfeld{
Grobnerestdonameneadeterminertouteslesequationsdierentiellesonse-
quenes dusysteme, m^emeelles quisont((ahees)). Cetensembleforme e
qu'on appelle un ideal de polyn^omes dierentiels. C'est le radial de l'ideal
dierentielengendrepar.Nouslenotons
p
[℄:
L'algorithme Rosenfeld{Grobner resout leprobleme d'algebre dierentielle
suivant:etantdonneeunefamilleniedepolyn^omesdierentiels,onstruire
unsimpliateurqui reerive azerotoutpolyn^omedierentiel appartenant au
radial de l'ideal dierentiel engendrepar:
p2 p
[℄ ssi p
!0:
2.Laontrainte 6=0estenfaitsuperue.
Rosenfeld{Grobnerdeide duvide'est{a{diresi 12 p
[℄. La possibilite
dealulerdesdeveloppementsdeTaylorde solutionsde n'estqu'unsous{
produit de laproprieteenoneei{dessus.Les habituesdes basesde Grobner
remarquerontqueettesituation estsimilaireaelle del'algorithmedeBuh-
berger, qui resout un problemetheorique d'algebre ommutative(deider de
l'appartenaneaunideal depolyn^omes) et fournit en sous{produit desalgo-
rithmesderesolutiondesystemespolynomiaux.
Lestheoremesimportants
Le theoreme lef est un lemme, d^u a Rosenfeld [Ros59℄, qui ameliore un
theoreme demontre et utilise par Seidenberg [Sei56℄ pour prouver son algo-
rithmed'eliminationpourdessystemesd'equationsauxderiveespartiellespo-
lynomiales.LelemmedeRosenfelddonneune onditionsuÆsante pourqu'un
systemed'equationsaux deriveespartielles ait une solutiondierentielle si et
seulements'ilaunesolution,vuentantquesystemepurementalgebriquedans
l'espaedesjets.OnpeutpenserquesiSeidenbergouRosenfeldn'ontpasfor-
muledanslesannees50l'algorithmepresentedansehapitre,'estqu'illeur
manquaitlesalgorithmesde resolutiondesystemespolynomiaux.Lathesede
Buhberger[Bu65℄datede1965.
Parmilestheoremesimportants,itonsaussilelemmedeLazard[BLOP95℄
quidatede1994etquimontrequesiunsystemedepolyn^omesdierentielssa-
tisfaitlelemmedeRosenfeldalorsl'idealqu'ildenitad'exellentesproprietes
(entr'autres,ilest radiiel).
Appliations
L'algorithmeRosenfeld{Grobnerpermet de fairede l'eliminationdans les
ideaux dierentiels.
{
Eliminerune fontionet sesderiveespresente ungrandinter^et enauto-
matiquenonlineaireommel'ontmontreFliess[Fli89℄et lesherheurs
[Dio89℄quionttravailleavelui.L'eliminationdevariablesd'etatdansun
systemedynamique permet, par exemple,d'en denir le omportement
entree{sortie.
{
Eliminer les variables les plusderiveespermet d'obtenir lesontraintes
algebriques ahees des systemes d'equations dierentielles algebriques
(DAEet PDAE).
{
Eliminer des derivations permet de reherher la presene d'equations
dierentiellesordinairesdansunsystemeauxderiveespartielles,pouren
Disposerd'unsolveurnonlineairepermetenndetraiterdessystemeslineaires
dependantdeparametres.L'algorithmedisutealorsleresultatenfontiondes
parametres.Nousdonnonsunexempleenndehapitre.
Lepaquetagedialg
Le paquetage diffalg, qui ontient une implantation assez travaillee de
Rosenfeld{Grobner,faitpartiedelabibliothequestandarddeMAPLEVver-
sion5.Ilaeteinitialementeritparl'auteurpuisameliorepar
EvelyneHubert
quiainlusuneimplantationduLowPowerTheorem[Hub97℄etaretravaillela
partiepurementalgebriquedeRosenfeld{Grobnerquis'appliqueauxsystemes
satisfaisantlaonditiondeRosenfeld.Elleaaussibeauoupontribueadiuser
lepaquetageetalefaireinteragiraved'autresfontionsdeMAPLEV.
Autresalgorithmesexistant
DenombeauxautresalgorithmesqueRosenfeld{Grobneronteteproposes.
Lesalgorithmesd'eliminationdeSeidenberg[Sei56℄resolventlem^emepro-
blemequenous:ilspermettentdedeidersiunpolyn^omedierentielappartient
auradiald'unidealdierentieldetypenimaissontinutilisablesenpratique,
pare qu'ils retournent un booleen et pas une version simpliee du systeme
donne en entree. Il y a toutefois une liation direte entre les methodes de
Seidenbergetl'algorithmequenousexposons.
Ritt [Rit50℄ a proposeun algorithme reposant sur des fatorisations au{
dessusdetoursd'extensionsalgebriques.WuWenTsun[Wu 87℄aderituneva-
riantedel'algorithmedeRitt,sansfatorisations,maisfournissantunresultat
plusfaible. L'algorithmedeWuWenTsunnedeidepasduvideparexemple.
DongmingWang [Wan94℄aplustarddeveloppelesidees deWuet deSeiden-
bergpour systemesdierentielsordinaires et proposereemment[LW99℄ une
variantedeRosenfeld{Grobnerpourlessystemesauxderiveespartielles.
Ollivier[Oll90℄etCarra{Ferro[CF87℄ontgeneralisel'algorithmedeBuh-
bergerauxsystemesd'equations dierentielles.Les bases deGrobnerdenies
paresauteurspeuventtoutefois^etreinnies.
Manseld [Man91℄ a propose une autre denition de bases de Grobner
dierentielles.Son algorithme,qui s'appliqueaussi auxsystemesauxderivees
partielles,terminedanstouslesasmaisnegarantitpasqueleresultatalule
soitbienunebasedeGrobnerdierentielle.
Aepropos,onpeutremarquerque
l'appartenaneaunidealdierentieldetypeniesttoujoursouvert[GMO91℄.
Bouziane,KandriRodyetMa^arouf[BKM96,Ma^a96℄ontmisaupointdes
algorithmes prohesde Rosenfeld{Grobner, apartirde l'algorithme de trian-
gularisationdeKalkbrener[Kal93℄.
Hubert [Hub00℄ a larie la partie purement algebrique de l'algorithme
ertainespartiesn'etaientpaseetives)ens'appuyantsurlelemmedeLazard
etsonliftingpourl'algebredierentielle.
Sadik[Sad00℄areemmentredigeunedesriptiontressynthetiquedesalgo-
rithmes[BLOP95,BKM96,BLOP97, Hub00℄entierementfondeesur[Kol73℄.
Reid, Wittkopf, Lin et Boulton [RWB94, RLW96℄ ont developpe des al-
gorithmesde simpliation desystemesd'equationsauxderiveespartielles et
ontmontreommentalulerdesdeveloppementsdeTaylordeleurssolutions.
Leurs algorithmes ne permettent toutefois pas de traiter des systemes quel-
onques.
Organisationduhapitre
La setion 1.2 presente les premieres denitions. La setion 1 est dediee
ala notionde solution d'un systemed'equationsdierentielles polynomiales.
OnypresenteuneversiondierentielledutheoremedeszerosdeHilbert. Les
systemesdierentielsquisatisfontleshypothesesdulemme deRosenfeldsont
presentesensetion1.3.3avelesprinipauxtheoremesquilesonernent.En
setion1.4nous donnonslesspeiationsdel'algorithmeRosenfeld{Grobner
ainsiqueplusieursimplantations:delaplusnave,peu eÆaemais simplea
omprendre,jusqu'auximplantationslesplusreentes.Quelquesexemplessont
traitesensetion1.7.
1.2
Elementsd'algebre dierentielle
1.2.1 Rappels d'algebre ommutative
Un idealad'unanneauR estunsous{ensemblenonvidedeR veriant
a;b2a ) a+b2a
a2aetb2R ) ab2a
Un ideal a est dit radiiel si a 2 a des qu'il existe un entier n > 0 tel que
a n
2 a. Ilest dit premiersi ab 2 aimplique a 2aou b 2 a.On note p
ale
radialdel'ideala,'est{a{direlepluspetitidealradiielontenanta.SoitS=
fs
1
;:::;s
t
g une famille nie de R , on note a :
S 1
la saturation (a ne pas
onfondre ave le residuel d'un ideal par un autre) de a par S 'est{a{dire
l'ideal
a :
S 1
=fa2Rj9e
1
;:::;e
t
2N tels ques e1
1 s
et
t
a2ag:
On a l'inlusiona a :
S 1
. Si A R on note (A) le plus petit ideal de R
Casdesanneauxdepolyn^omes
SoientA unsous{ensemblenid'unanneaude polyn^omes(mettons)R =
Q[x
1
;:::;x
n
℄etV l'ensembledessolutions,prisesdansC n
,dusystemeA=0.
Alors p
(A)estl'idealdespolyn^omesquis'annulententoutpointdeV.Soitde
plusSunsous{ensemblenideRetZl'ensembledessolutions,prisesdansC n
,
dusystemeA =0; S 6=0. Alorsl'ideal p
(A) :
S 1
est l'ideal despolyn^omes
qui s'annulenten tout pointde Z. C'est letheoremedeszeros qui est utilise
impliitementii.
1.2.1.1 Polyn^omes
Soit R = K[X℄ un anneau de polyn^omes ou K est un orps et X est
un alphabet (eventuellement inni) ordonne. Soit p 2 RnK un polyn^ome.
L'indetermineeprinipale(leleaderenAnglais)depestlaplusgrandeindeter-
mineex2X quiguredansp.Nouslanotonsldp.Lepolyn^omeppeuts'erire
p=a
d x
d
++a
1 x+a
0
ou les polyn^omesa
i
ne omportent pas l'indeterminee x et a
d
6= 0. L'entier
d=deg (p;x)estledegredepenl'indetermineex.Lerangdepestlemon^ome
rangp = x d
. Le polyn^ome i
p
= a
d
est l'initial de p. Le separant de p est le
polyn^ome
s
p
= p
x
=da
d x
d 1
++a
1 :
Si ARnK alorslerang deA estl'ensembledesrangs deseselements.On
note I
A
(resp. S
A
)l'ensemble des initiaux (resp. desseparants) des elements
deA.OnnoteH
A
=I
A [S
A
.Unsous{ensembleAdeRnKestdittriangulaire
siseselementsontdesderiveesdominantesdistintes.
1.2.1.2 Pseudo{division
Soient f = f
m x
m
++f
1 x+f
0
et g = g
n x
n
++g
1 x+g
0 deux
polyn^omesenuneindetermineexet aoeÆientsdansunanneauR .Ilexiste
ununiqueouple(q;r)depolyn^omesdeR [x℄veriant
g n m+1
n
f = gq+r;
deg (r;x) < deg(g;x):
Le polyn^ome q est le pseudo{quotient, le polyn^omer est le pseudo{restede
lapseudo{divisionde f parg.L'algorithmedepseudo{redutionestpresente
1.2.2 Algebre dierentielle
Les ouvrages de referene sont [Rit50℄ et [Kol73℄. Une derivation sur un
anneauR estuneappliation ÆdeRdansRqui veriepourtousa;b2R
Æ(a+b) = Æa+Æb
Æ(ab) = (Æa)b+aÆb (regledeLeibniz)
Un anneau dierentiel est un anneau muni d'un nombre ni de derivations
Æ
1
;:::;Æ
m
qui ommutententr'elles.Un anneau dierentielordinaire est un
anneaumunid'uneseulederivation.
Exemple.Toutanneaupeut^etremunid'unestruture dierentielle: il suÆt
de le munir de la derivation triviale, qui envoie tous ses elements sur 0. Le
orps Q( x) muni de la derivation =x est un exemple de orps dierentiel
(ordinaire)./
Onnotelemonodeommutatifengendreparlesderivations.Seselements
sont les operateurs de derivations = Æ a1
1 Æ
am
m
ou les a
i
sont des entiers
positifs ou nuls. La somme des exposants a
i
, appelee l'ordre de l'operateur
, est notee ord. L'operateur identite est l'unique operateur d'ordre 0. Les
autres operateurssontdits propres. Si =Æ a1
1 Æ
am
m
et =Æ b1
1 Æ
bm
m alors
=Æ a
1 +b
1
1
Æ am+bm
m
. Un ideal dierentiel ade R est unideal deR stable
parderivation,'est{a{diretelque
a2a ) Æ
i
a2a (1im)
Soit unsous-ensemble nonvide deR . Onnote [℄ et p
[℄ respetivement
l'ideal dierentiel et le radial de l'ideal dierentielengendre par. Ils'agit
respetivementdupluspetitidealdierentieletdupluspetit idealdierentiel
radiielontenant.
1.2.2.1 Polyn^omesdierentiels
SoitU =fu
1
;:::;u
n
gunensembledenindetermineesdierentielles.Les
operateursdederivationagissentsurlesindetermineesdierentielles,donnant
des derivees u. Si u et u sont deux derivees d'une m^eme indeterminee
dierentielleonnoteppd (u;u)=ppm(;)uleurpluspetitederiveeom-
mune.
On note U l'ensemble des derivees. Soit K un orps dierentiel. L'an-
neaudierentieldespolyn^omesdierentielsonstruitssur l'alphabet U et a
oeÆientsdansK estnoteKfu ;:::;u g.Danslasuite,nouslenoteronsR .
Exemple.Reprenonsl'exempledonneenintrodutionaveuneautrenotation.
Ilomportetroispolyn^omesdierentiels
8
<
: p
1
=u 2
x 4u;
p
2
=u
xy v
y
u+1;
p
3
=v
xx u
x :
Ilyadeux derivations=
x et =
y
et deuxindetermineesdierentiellesuet
v representantmoralementdeuxfontionsu(x;y)et v(x;y)dedeuxvariables.
On peut prendre pour orps des oeÆients K le orps Q des rationnels ou
leorpsdesfrations rationnellesQ( x;y). L'anneaudepolyn^omesdierentiels
est Kfu;vg.les derivees gurantdans le systeme sont u
x , u, u
xy , v
y et v
xx .
Lesoperateursdederivationsontnotesenindie.Parexemple,u
x
=u=xet
u
xy
= 2
u=xy./
Classements(rankings)
Un lassement (en Anglais un ranking) est un ordre total sur l'ensemble
desderivees,ompatibleavel'ationdesderivationssurU.Ils'agitdonde
n'importequelordre totalsurU veriant:
1. Æv>v (pourtoutederivationÆet toutederiveev)
2. v>w)Æv>Æw (pourtoutederivationÆettoutesderiveesvet w)
Ondistingueleslassementsompatiblesavel'ordretotal(enAnglaisorderly),
'est{a{direveriant
ord>ord ) u>v pourtousu;v2U
deslassementsd'eliminationquisatisfont
u>v ) u>v pourtous;2etu;v2U.
Une fois xe un lassement, on peut denir la derivee dominante d'un po-
lyn^omedierentielp:'estl'indetermineeprinipale(leleader)dep,vuomme
unpolyn^omesurl'alphabetinnidesderivees.L'initialetleseparantd'unpo-
lyn^omedierentielsontalorsbiendenis.Lesaxiomesdeslassementsfontque
leseparantd'unpolyn^omedierentielf estegalal'initialdetouteslesderivees
propresdef.
Exemple.FixonslelassementRsuivant,ompatibleavel'ordretotal:
>v
xx
>v
xy
>v
yy
>u
xx
>u
xy
>u
yy
>v
x
>v
y
>u
x
>u
y
>v>u:
Les derivees dominantes deselements de sont respetivement u
x
;u
xy
;v
xx
;
lesrangsu 2
x
;u
xy
;v
xx
;lesseparants2u
x , v
y
et 1.Derivonslepolyn^omep
1 par
rapport ay:
Æ
y p
1
=2u
x u
xy 4u
y :
Onveriequel'initial deepolyn^omeestbien leseparantdep
1 ./
