St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦6 - ISOMETRIES - CONIQUES - Sujet 1
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes deR3qui, dans la base canonique ont pour matrice :
A= 1 3
2 −2 −1 1 2 −2
2 1 2
A est la matrice de la rotation d’axe Vect{(1,−1,1)}, d’angle π 3.
B =
0 1 0 0 0 1
−1 0 0
B est la matrice de la composée de la réflexion par rapport au plan d’équationx−y+z= 0et de la rotation d’axe Vect{(1,−1,1)}d’angle−π
3.
2. Donner la matrice dans la base canonique de R3 de la réflexion par rapport au plan P d’équation x−y+z= 0.
M = 1 3
1 2 −2 2 1 2
−2 2 1
3. Déterminer la nature des coniques suivantes, et les représenter dans le plan muni d’un repère ortho- normé (O,~ı, ~) :
a. 13x2+ 13y2−62x+ 46y−10xy+ 13 = 0
C’est une ellipse de centre Ωde coordonnées(2,−1)dans(O,~ı, ~).
Dans le repère (Ω, ~u, ~v) où~u= 1
√2~ı+ 1
√2~ et~v=− 1
√2~ı+ 1
√2~, l’équation de l’ellipse est
1
9X2+1
4Y2 = 1
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b. x2−2xy+y2−6x−10y+ 9 = 0
C’est une parabole. Dans le repère (O, ~u, ~v) où ~u = 1
√2~ı− 1
√2~ et~v = 1
√2~ı+ 1
√2~, le sommet de la parabole S a pour coordonnées
− 1
√ 2, 1
√ 2
ce qui correspond aux coordonnées (0,1) dans le repère initial.
Dans le repère (S, ~u, ~v), l’équation de la parabole est X2 = 4√
2Y
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◦6 - ISOMETRIES - CONIQUES - Sujet 2
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes deR3qui, dans la base canonique ont pour matrice :
A= 1 2
−1 1 −√ 2 1 −1 −√
√ 2 2 √
2 0
A est la matrice de la composée de la réflexion par rapport au plan d’équation x−y = 0 et de la rotation d’axe Vect{(1,−1,0)}d’angle π
2.
B = 1 3
−2 −1 2
1 2 2
−2 2 −1
B est la matrice de la rotation d’axe Vect{(0,2,1)}, d’angle Arccos
−2 3
.
2. Donner la matrice dans la base canonique de R3 de la réflexion par rapport au plan P d’équation 2x+y= 0.
M = 1 5
−3 −4 0
−4 3 0
0 0 5
3. Déterminer la nature des coniques suivantes, et les représenter dans le plan muni d’un repère ortho- normé (O,~ı, ~) :
a. 3x2+ 3y2+ 26x+ 22y+ 10xy+ 43 = 0
C’est une hyperbole de centre Ωde coordonnées (−1,−2)dans(O,~ı, ~).
Dans le repère (Ω, ~u, ~v) où~u= 1
√2~ı+ 1
√2~ et~v=− 1
√2~ı+ 1
√2~, l’équation de l’hyperbole est
1
4Y2−X2 = 1
b. 4x2+ 4xy+y2+√
5x−2√
5y+ 10 = 0
C’est une parabole. Dans le repère (O, ~u, ~v) où~u= 2
√5~ı+ 1
√5~ et~v=− 1
√5~ı+ 2
√5~, le sommet de la parabole S a pour coordonnées (0,2), ce qui correspond aux coordonnées
− 2
√ 5, 4
√ 5
dans le repère initial.
Dans le repère (S, ~u, ~v), l’équation de la parabole est X2 =Y
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