sin θ= 1 { }

Khôlle PCSI n° 3 : rudiments de logique, ensembles, ensembles de réels

1. Mettre entre les propriétés i. et ii. suivantes le bon symbole parmi

⇒ ,⇐ , ⇔.

i. n est multiple de 2 ii. (n est multiple de 4 ou n est multiple de 6) 2. Écrire symboliquement l'énoncé : « Tout réel est encadré par deux entiers consécutifs. » 3. Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble Ω .

Montrer les égalités d'ensembles :

A∪ B =A ∩B

et

A ∩ B= A∪ B

(lois de Morgan).

4. Montrer, en utilisant la caractérisation de la partie entière, que pour tout

x∈ℝ

, on a :

0≤⌊ 2x⌋−2⌊ x ⌋≤1

.

5. Soient A et B deux parties de

ℝ

non vides et bornées.

i. Montrer que

A⊂ B ⇒(sup A ≤sup B)et ( inf B≤ inf A )

. La réciproque est-elle vraie ? ii. Montrer que

A∪ B

est bornée, puis déterminer

sup( A∪ B)

^et

inf ( A∪B)

^.

iii. Que dire pour

A∩ B

?

1. Mettre entre les propriétés i. et ii. suivantes le bon symbole parmi ⇒,⇐,⇔.

i.

z∈ℂ

ii.

∃(r , θ)∈ℝ

₊^*

×ℝ , z=r e

^iθ

2. Écrire symboliquement l'énoncé : « La partie entière d'un réel est le plus grand entier relatif qui lui est inférieur ou égal. »

3. Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble Ω . Simplifier les expressions suivantes :

E=( A ∪B )∩( A∪B)∩( A∩ B)

et

F=( A∪ B)∪( A ∩ B)

4. Soient x et y deux réels. Montrer que

⌊ x ⌋+⌊ y ⌋+⌊ x+ y ⌋≤⌊2x ⌋+⌊ 2y⌋

. On posera

x=⌊ x ⌋+a

et

y=⌊ y ⌋+ b

, en précisant dans quel(s) intervalle(s) se trouvent a et b.

5. Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure, et s'ils existent le minimum et le maximum de l'ensemble :

A = { ¹ n + 1

p / (n , p )∈(ℕ

^*

)

²

}

^.

1. Mettre entre les propriétés i. et ii. suivantes le bon symbole parmi

⇒ ,⇐ , ⇔.

i. ∃k∈ℤ,θ= π

2+kπ ii.

sin θ= 1

2. Écrire symboliquement l'énoncé : « La valeur absolue d'un réel est la plus grande des deux valeurs définies par ce réel et son opposé. »

3. Soient A, B et C trois sous-ensembles d'un ensemble Ω . Montrer l'égalité :

A ∩(B∪C )=( A∩ B)∪( A ∩C )

(distributivité de l'intersection par rapport à l'union).

4. Soit (x , y)∈ℝ² . Montrer que

⌊ x + y ⌋

vaut soit

⌊ x ⌋+⌊ y ⌋

, soit

⌊ x ⌋+⌊ y ⌋+1

. Préciser la situation lorsque x=y.

5. Soit A une partie non vide et bornée de

ℝ

. On note

D

_A

= { ^{∣x− y∣/ ( x , y )∈ A}

²

}

l'ensemble des distances entre deux éléments de A.

i. Montrer que

D

_A est majorée. On note

δ( A)

sa borne supérieure (c'est le diamètre de A).

ii. Montrer que

δ( A)= sup A− inf A

^.

iii. Soit B une partie non vide et bornée de

ℝ

telle que

A ∩ B≠∅

. Montrer que

A ∪B

est bornée puis que

δ( A ∪B )≤δ( A)+δ ( B)

.

Auteur : Fabrice Durand                1/1              maths­excellence.com