MPSI B DM 14 29 juin 2019
Exercice
Soita,b,c,m,n,pdes nombres réels. On supposec non nul.
1. Discuter et résoudre le système
bz−cy= 1 cx−az=m
ay−bx=n 2. SoitAetC les matrices suivantes :
A=
0 −c b a
c 0 −a b
−b a 0 c
a b c 0
, C=
1 m
n p
CalculertAA puis résoudre le systèmeAX=Cd'inconnue
X =
x y z t
3. Exprimer les solutions du système de la question 1. à l'aide de la question 2. en consi- dérantpcomme un paramètre. On posera
p=α2µ, α=p
a2+b2+c2
Problème
On désigne parEa l'ensemble des suites réelles u= (un)n∈Nsatisfaisant à la relation de récurrence
∀n∈N, 4un+3= 4(1 +a)un+2−(1 + 4a)un+1+un (1) On noteK l'ensemble des suites constantes.
1. a. Montrer queEa est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles b. Montrer quedimEa = 3.
2. a. Montrer queK est un sous-espace vectoriel deEa.
b. Soitu= (un)n∈Nun élément deEa, on dénit une suitev= (vn)n∈N en posant
∀n∈N, vn=un+1−un Établir une relation de récurrence(2)satisfaite parv.
c. On désigne par Fa l'ensemble des suites réelles satisfaisant (2). Montrer que Fa est un sous-espace vectoriel deEa.
3. Déterminer une base deFa. On distinguera trois cas : 0≤a <1, a= 1, a >1 Lorsque0≤a <1, on poseraa= cosθavecθ∈]0,π2[. Lorsquea >1, on poseraa= chθ avecθ >0
4. Montrer qu'il existe une unique valeura0deaque l'on calculera pour laquelleK⊂Fa. 5. Dans cette question,aest diérent dua0de la question précédente.
a. Montrer queKetFa sont supplémentaires dansEa. Comment se décompose une suite deEa en la somme d'une suite deK et d'une suite deFa?
b. En déduire une base deEa dans chacun des trois cas.
6. Montrer que(n)n∈N∈Ea0. En déduire une base de Ea0. 7. Soitul'élément deEa déterminé par les conditions initiales
u0= 1−p
|a2−1|, u1= 1, u2= 1 + 1 4
p|a2−1|
Calculer un en fonction de n. On discutera suivant les valeurs de a en utilisant les mêmes notations que dans la question 3.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0414E
