Exercices, Feuille IV - Math 202 PC, 2010-2011

Exercices, Feuille IV - Math 202 PC, 2010-2011

Matrice jacobienne.C¹-diff´eomorphismes. Equations D´eriv´ees Partielles

Exercice 1

Soitf :R³→R²l’application d´efinie parf(x, y, z) = (x+y², xy²z).

a. Ecrire la matrice jacobienne def au point(x, y, z).

b. Soitg:R² →R³l’application d´efinie parg(u, v) = (u²+v, uv, e^v). Ecrire la matrice jacobienne degau point(u, v).

c. Ecrire la matrice jacobienne deg◦f au point(x, y, z).

Exercice 2

Consid´erons la fonctionf d´efinie surE={(x, y)∈R²:x >0, y >0}parf(x, y) = x²

2y,y² 2x

a. Montrer quefest diff´erentiable surE.

b. Ecrire la matrice jacobienne def surE.

c. Montrer quef est une bijection deEsurE.

d. On poseg=f⁻¹. D´eterminerget v´erifier quegest diff´erentiable surE.

e. Ecrire la matrice jacobienne degsurE.

Exercice 3

Soitφ:R²→R²l’application d´efinie parφ(x, y) = (x+y, x+my), o`um∈Rest un param`etre.

a. A quelle condition la matrice jacobienne deφest-elle injective ?

b. A quelle conditionφest-il un changement de variables ouC¹-diff´eomorphisme ?

Exercice 4

Trouver un ouvertU deR² tel que l’applicationφ:U →R²d´efinie parφ(x, y) = (x−y, xy)soit unC¹-diff´eomorphisme deU surφ(U).

Exercice 5 (Coordonn´ees Polaires)

Pour(r, θ)∈U =]0,+∞[×]−π, π[, on poseΦ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ). On rappelle que∀(α, β)∈ R²v´erifiantα²+β² = 1, il existe un uniqueθ∈[−π, π[tel queα= cosθety= sinθ.

a. Montrer queΦest unC¹-diffeomorphisme deU sur

U^′ ={(x, y)∈R²|y6= 0ou(y= 0etx >0)}

b. D´eterminer la jacobienne deΦ⁻¹en(x, y)∈U^′.

c. On noteU₁^′ =R×R^∗+, U₂^′ =R×R^∗₋etU₃^′ =R^∗+×R. Donner l’expression explicite deΦ⁻¹sur chacun de cesU_i^′.

d.. Retrouver `a partir des formules pr´ec´edentes la matrices jacobienne deΦ⁻¹surU^′.

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Equations aux D´eriv´ees Partielles du premier ordre

Exercice 1. R´esoudre les EDP d’inconnuef :U →Rde classeC¹sur l’ouvert indiqu´eU et `a l’aide du changement de variable fourni(u, v):

a.2∂f

∂x −∂f

∂y =x²y; U =R² (u=x, v=x+ 2y)

b.x∂f

∂x−y∂f

∂y =xy²; U =R^+∗×R (u=x, v=xy)

c.x∂f

∂x+y∂f

∂y =p

x⁴+y⁴ ; U =R^+∗×R (u= ^y_x, v=x²+y²)

Exercice 2. On consid`ere l’EDP(E): x∂f

∂x +y∂f

∂y = 0 surU =R^+∗×R. a. R´esoudre(E) `a l’aide du changement de variable(u=x, v=_x^y).

b. R´esoudre(E)en passant en coordonn´ees polaires.

Exercice 3. Soitaun r´eel fix´e. R´esoudre l’EDP(E): y∂f

∂x −x∂f

∂y =a.f surU =R^+∗×R en passant en coordonn´ees polaires.

Exercice 4. SoitU =R^+∗×R^+∗etφ:U →R²d´efinie par :φ(x, y) = (xy,^y_x).

a. Montrer queφest unC¹-diff´eomorphisme deU surU.

b. Af ∈C¹(U,R)on associeg∈C¹(U,R)d´efinie parf(x, y) =g(xy,_x^y)pour tout(x, y)∈U. Donner une CNS surgpour quef soit une solution de l’´equation x∂f

∂x+y∂f

∂y = 2xy (E).

c. D´eduire de b. les solutions de(E)surU.

Exercice 5. SoitU1={(x, y)∈R² :y > x}etφ:U1→R²d´efinie par :φ(x, y) = (xy, x+y).

1. a. Montrer queφest unC¹-diff´eomorphisme deU1surφ(U1)que l’on d´eterminera.

b. Af ∈C¹(U1,R)on associeg∈C¹(U1,R)d´efinie parf(x, y) =g(xy, x+y)pour tout (x, y)∈U1. Donner une CNS surgpour quef soit une solution de l’´equation

∂f

∂x −∂f

∂y = 3(y−x)f (E)

c. D´eduire de b. les solutions de(E)surU.

2. Sans refaire les calculs, donner les solutions de(E)surU2 ={(x, y)∈R² :y < x}.

3. En ´etudiant les ” raccords” sur la droite d’´equationx=yd’une solution de(E)surU1et d’une solution de(E)surU2, trouver les solutions de(E)surR².

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