Anik Soulière
Professeure de mathématique Département de mathématiques Collège de Maisonneuve
asouliere@cmaisonneuve.qc.ca
Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC
Financé par le ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS) du Québec dans le cadre du Programme d'arrimage universités-collèges
Formules de base d’intégration
des fonctions trigonométriques
et trigonométriques inverses
À la recherche de primitives
Intégrer
(trouver les primitives)
Dériver
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Formules de base de dérivation
𝑑
𝑑𝑥𝐶 = 0, 𝐶 ∈ ℝ 𝑑
𝑑𝑥𝑥 = 1 𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1, 𝑛 ∈ ℝ 𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 𝑑
𝑑𝑥ln 𝑥 = 1 𝑥
Soit 𝑎 > 0 𝑒𝑡 𝑎 ≠ 1 𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑑
𝑑𝑥log𝑎𝑥 = 1 𝑥 ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥sin 𝑥 = cos 𝑥 𝑑
𝑑𝑥cos 𝑥 = −sin 𝑥 𝑑
𝑑𝑥tan 𝑥 = sec2𝑥 𝑑
𝑑𝑥cot 𝑥 = −csc2𝑥 𝑑
𝑑𝑥sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑
𝑑𝑥csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥
𝑑
𝑑𝑥arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥arccos 𝑥 = −1 1 − 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥arctan 𝑥 = 1 𝑥2 + 1 𝑑
𝑑𝑥arccot 𝑥 = −1 𝑥2 + 1 𝑑
𝑑𝑥arcsec 𝑥 = 1 𝑥 𝑥2 − 1 𝑑
𝑑𝑥arccsc 𝑥 = −1 𝑥 𝑥2 − 1
Formules de dérivation pour sinus et cosinus
𝑑
𝑑𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥 ⟹ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥 ⟹ sin 𝑥 𝑑𝑥 =
sin 𝑥 + 𝐶
− cos 𝑥 + 𝐶
Formules de dérivation des fonctions trigonométriques
𝑑
𝑑𝑥 tan 𝑥 = sec2 𝑥 ⟹ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 cot 𝑥 = − csc2 𝑥 ⟹ csc2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 ⟹ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥 ⟹ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 =
tan 𝑥 + 𝐶
− cot 𝑥 + 𝐶
sec 𝑥 + 𝐶
−csc 𝑥 + 𝐶
Trucs mnémotechniques
𝑑
𝑑𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 tan 𝑥 = sec2 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 cot 𝑥 = −csc2 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 cot 𝑥
sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 + 𝐶
csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot𝑥 + 𝐶
csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc𝑥 + 𝐶
Trucs mnémotechniques
𝑑
𝑑𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 tan 𝑥 = sec2 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 cot 𝑥 = −csc2 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑
𝑑𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 cot 𝑥
sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶
sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
Formules de base d’intégration
1.
2.
3.
sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶 csc2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 4.
5.
6.
Exemple 1
csc2 𝑥 𝑑𝑥 =
Exemple 2
tan 𝑥 𝑑𝑥 =
Formules de base d’intégration
1. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 sec2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 csc2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶 2.
3.
4.
5.
6.
?
Fonctions trigonométriques inverses
𝑑
𝑑𝑥 arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
⟹
𝑑
𝑑𝑥 arctan 𝑥 = 1 𝑥2 + 1
1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 =
⟹
𝑑
𝑑𝑥 arcsec 𝑥 = 1
𝑥 𝑥2 + 1
1
𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 =
⟹ 𝑥 ∈ ] − 1,1[
arcsin 𝑥 + 𝐶
arctan 𝑥 + 𝐶
arcsec 𝑥 + 𝐶
Et les autres fonctions trigonométriques inverses?
𝑑
𝑑𝑥 arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥 arctan 𝑥 = 1 𝑥2 + 1 𝑑
𝑑𝑥 arcsec 𝑥 = 1
𝑥 𝑥2 − 1
𝑑
𝑑𝑥arccos 𝑥 = −1 1 − 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥 arccot 𝑥 = −1 𝑥2 + 1 𝑑
𝑑𝑥 arccsc 𝑥 = −1 𝑥 𝑥2 − 1
Et les autres fonctions trigonométriques inverses?
𝑑
𝑑𝑥 arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶
⟹
𝑑
𝑑𝑥 arccos 𝑥 = −1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
⟹ − arccos 𝑥 + 𝐶
Et les autres fonctions trigonométriques inverses?
𝑑
𝑑𝑥 arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶
⟹
𝑑
𝑑𝑥 arccos 𝑥 = −1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
⟹
Primitives équivalentes
− arccos 𝑥 + 𝐶
Et les autres fonctions trigonométriques inverses?
𝑑
𝑑𝑥 arcsin 𝑥 = 1 1 − 𝑥2
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶
⟹
Formules de base d’intégration
1.
2.
3.
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶 1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶 1
𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arcsec 𝑥 + 𝐶
Exemple 3
5
𝑡2 + 1 𝑑𝑡 =
1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 où 𝑘 est une constante réelle
Exemple 4
𝑥
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 =
1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶
= 𝑥 1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 où 𝑘 est une constante réelle
Résumé
En inversant les formules de dérivation des fonctions trigonométriques, on obtient les six formules suivantes.
sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
Résumé
Pour les fonctions trigonométriques inverses, nous
mémoriserons que trois formules, puisque les autres sont équivalentes.
1
1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶 1
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶 1
𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = arcsec 𝑥 + 𝐶
Résumé
Certaines fonctions trigonométriques, comme tangente, ne sont le résultat d’aucune formule de base de
dérivation. Leur résolution demandera l’utilisation de nouvelles stratégies : les techniques d’intégration.
tan 𝑥 𝑑𝑥 = ?
Conception du contenu
Anik Soulière
Collège de Maisonneuve asouliere@cmaisonneuve.qc.ca
Révision du contenu
Samuel Bernard
samuel.bernard@collanaud.qc.ca
Direction de projet
Samuel Bernard Bruno Poellhuber
Postproduction
Symon Nestoruk
Musique
Sébastien Belleudy
sebe.bandcamp.com
Conception graphique
Christine Blais
Production des modèles en LaTeX
Nicolas Beauchemin
nicolas.beauchemin@bdeb.qc.ca
Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence Creative Commons internationale 4.0
Paternité / Pas d'utilisation commerciale / Partage dans les mêmes conditions Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à Mathema-TIC.ca
Bruno Poellhuber Samuel Bernard
Production
