Examen de Distributions

Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS, 2<sup>`eme</sup> ann´ee Ann´ee universitaire 2014-2015

Examen de Distributions

Le 24 juin 2015

Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures.

Le sujet comporte deux pages.

Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits, `a l’exception d’une feuille au format A4 manuscrite.

Exercice 1. (Comp´etences de bases).

1. D´efinir la distribution de Dirac en 0,δ₀∈ D⁰(R).

2. Pour toutn≥1, on consid`ere la distributionT<sub>n</sub> associ´ee `a la fonction localement int´egrable de Rdans C, en :x7→e^inx. Montrer que la suite (Tn)_n≥1 converge dansD⁰(R) et calculer sa limite dansD⁰(R).

3. Soit vp _x¹

la distribution “valeur principale de _x¹” d´efinie par

∀ϕ∈C₀^∞(R),

vp 1

x

, ϕ

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x) x dx.

Soit

f :

R → R x 7→

( ln(|x|) si x6= 0 0 si x= 0

.

SoitTf ∈ D⁰(R) la distribution associ´ee `a la fonction localement int´egrablef. Montrer que (Tf)⁰ = vp ¹_x

dansD⁰(R).

4. Soit H la distribution de Heaviside, distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de ]0,+∞[. Calculer le produit de convolution H ? δ⁰₀ dansD⁰(R).

Exercice 2. (Comp´etences attendues).

1. Soitϕ∈C₀^∞(R). Montrer que la limite

lim

ε→0⁺

Z +∞

ε

ϕ(x) x^3/2e^xidx existe.

Indication : effectuer une int´egration par parties en utilisant la formule(e^xi)⁰=−i_x¹₂e^xi. 2. On pose, pour touteϕ∈C₀^∞(R),

< T, ϕ >= lim

ε→0⁺

Z +∞

ε

ϕ(x) x^3/2e^xidx.

Montrer queT ainsi d´efinie est une distribution sur Rd’ordre au plus 1.

1

Exercice 3. (Comp´etences attendues). Pour toutn∈N^∗, on pose

Tn=

n

X

k=1

√1 k

δ ¹

2k+1 −δ¹

2k

.

1. Soitϕ∈C₀^∞(R). Montrer qu’il existe une fonctionψ de classeC^∞ surRtelle que :

∀x∈R, ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x).

2. Montrer que, pour touteϕ∈ C₀^∞(R), la suite (< T_n, ϕ >)_n∈N^∗ admet une limite lorsque n tend vers +∞.

3. En d´eduire que la suite (T_n)_n∈N^∗ converge dans D⁰(R) vers une distribution T d’ordre au plus 1.

4. Soit ϕ ∈ C₀^∞(R) `a support contenu dans un intervalle ]_m+1¹ ,_m¹[ pour un certain m ∈ N^∗. Montrer que< T, ϕ >= 0.

5. Montrer que, si m∈N^∗, _m¹ ∈suppT.

6. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes le support deT.

Exercice 4. (Comp´etences attendues)SoitH la fonction indicatrice deR^∗+. On consid`ere la fonction surR²donn´ee par :

∀(x, t)∈R², E(x, t) = H(t)

√4πte^−x

2 4t.

1. Justifier que l’on peut associer `a la fonctionE une distribution surR². 2. Montrer que, pour toutt >0 et toutx∈R,

∂t

1

√4πte^−x

2 4t

=∂²_xx 1

√4πte^−x

2 4t

.

3. Soitε >0. Soitϕ∈C₀^∞(R²). On pose :

Iε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂tϕ(x, t) dtdx et Jε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_xx² ϕ(x, t) dtdx.

(a) CalculerI_ε+J_ε.

(b) En effectuant le changement de variable y = ^√x_ε, d´eterminer la limite, lorsque ε tend vers 0, de I_ε+J_ε.

Indication : on pourra utiliser queR

Re^−u42 du=

√π 2 .

4. Calculer (∂t−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

5. En d´eduire une solutionu∈ D⁰(R²) de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂tu−∂_xx² u=f, o`uf ∈ E<sup>0</sup>(R<sup>2</sup>) est une distribution `a support compact.

6. Si de plusf ∈C₀^∞(R²), que peut-on dire deu?

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