Restitution Organisée des Connaissances
Francis Cortado 1
erfévrier 2007
1 Exemples de R.O.C proposés au BAC S depuis avril 2005
Exercice 1 Prérequis:
• Si z et z0 sont deux nombres complexes non nuls, alors
arg(z×z0) = arg(z) + arg(z0) + 2kπ avec k entier relatif.
• Pour tout vecteur −→w non nul d'axez on a :
arg(z) = (−→u ,−→w) + 2kπ avec k entier relatif.
1) Soient z etz0 deux nombres complexes non nuls, démontrer que : arg
³z z0
´
= argz−argz0[2π]
2) Démontrer que si A,B,C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'axe respective a, b, c, on a
arg
µc−a b−a
¶
=
³−→
AB,−→
AC´ [2π]
Prérequis:
Le module d'un nombre complexez quelconque, noté|z| vérie
|z|2 =z×z oùz est le conjugué dez.
Démontrer que :
1) Pour tous nombres complexesz1 etz2,
|z1×z2|=|z1| × |z2| 2) Pour tout nombre complexez non nul,
¯¯
¯¯1 z
¯¯
¯¯= 1
|z|
Exercice 4 Prérequis:
• La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa fonction dérivée est la fonction inverse :x7→ 1
x
• ln(1) = 0
1) Démontrer que pour tous réels strictement positifsa etx : ln(ax) = ln(a) + ln(x) 2) utiliser le résultat précédent pour démontrer que :
ln µ1
b
¶
=−ln(b)et que ln
³a b
´
= ln(a)−ln(b) pour tout réel strictement positifsa et b.
Prérequis:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct(O, ~u, ~v)
• Pour tout vecteur −→w non nul, d'axe z, on a
|z|=k−→wket argz = (−→u ,−→w) [2π]
• Si z et z0 sont deux nombres complexes non nuls
arg(z×z0) = arg(z) + arg(z0) Soientz etz0 deux nombres complexes non nuls. Démontrer que
arg
³z z0
´
= argz−argz0[2π]
Exercice 6 Prérequis:
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : (|z| =r
argz =θ[2π] ⇔
(z =r(cosθ+isinθ)
r >0 (ii) Pour tous nombres réelsa et b :
(
cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa Soientz1 etz2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
|z1×z2|=|z1| × |z2| et arg(z1×z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]
Exercice 7
Soienta, b, c etd des réels tels que(a, b, c, d)6= (0,0,0,0). Soit le planP d'équationax+by+cz+d= 0.
On considère le point I de coordonnées(x1, y1, z1)et le vecteur −→n de coordonnées(a, b, c). Le but de cet exercice est de démontrer que la distance du point I au planP est égale à
SoientA etB deux événements indépendants, démontrer queA et B sont indépendants.
Exercice 9 Prérequis:
On suppose connu les résultats suivants :
(i) Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est dé- croissante et que un−vn tend vers 0 lorsquen tend vers +∞
(ii) Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que(un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour toutn appartenant à N, on a
un6vn
(iii) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
"Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite."
On considère la fonctionf continue et croissante dénie sur[1,+∞[ parf(t) = et t. On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique ci dessous ( gure1).
Pour tout réelx0 de[1,+∞[ on noteA(x0)l'aire du domaine délimité par la courbe représen- tantf dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équationsx= 1 etx=x0. On se propose de démontrer que la fonction ainsi dénie sur[1,+∞[ est une primitive def.
1) Que vautA(1)?
2) Soit x0 un réel quelconque de[1,+∞[ et h un réel strictement positif.
justier l'encadrement suivant :
f(x0)6 A(x0 +h)−A(x0)
h 6f(x0+h)
3) Lorsque x0 >1, quel encadrement peut-on obtenir pourh <0 et tel quex0+h>1? 4) En déduire la dérivabilité enx0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé enx0 de la
fonctionA. 5) Conclure.
2 3 4
•
• •
•
e
On sait que la fonctionx7→e16x est solution de l'équation diérentielle (E) :y0 = 1 16 y.
démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions dénies surR, de la formex7→ke16x, où k est un nombre réel quelconque.
Exercice 12 Prérequis:
Dénition d'une suite tendant vers+∞.
"Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont à partir d'un certain rang, supérieur à A"
Démontrer le théorème suivant :
Une suite croissante non majorée tend vers+∞.
Exercice 13
Question ouverte :
Soit [KL]un segment de l'espace, on note I son milieu.
On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).
Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L.
