Première S2 Exercices sur le chapitre 4 : E3. Page n ° 1 2007 2008
E3 Etude des variations de fonctions composées.
A ) Déterminer le sens de variation de la fonction gof sur l'intervalle donné.
1 ) f ( x ) = x − 3 et g ( x ) = x sur l'intervalle I = [ 3 ; + ∞ [.
Comme x ∈ I, alors x ≥ 3 d'où x − 3 ≥ 0 donc f ( x ) est à valeurs dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
f est une fonction strictement croissante de l'intervalle [ 3 ; + ∞ [ à valeurs dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
g est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, gof est une fonction strictement croissante sur [ 3 ; + ∞ [.
Schéma I = [ 3 ; + ∞ [ J = [ 0 ; + ∞ [ [ 0 ; + ∞ [
f g
x f ( x ) g o f ( x )
2 ) f ( x ) = x + 3 et g ( x ) = x² sur l'intervalle I = [ -5 ; -3 ]
Comme x ∈ I alors - 5 ≤ x ≤ -3 d'où -2 ≤ x + 3 ≤ 0 ainsi f ( x ) est à valeurs dans l'intervalle [ -2 ; 0 ].
f est une fonction strictement croissante de l'intervalle [ -5 ; 5 ] à valeurs dans l'intervalle [ -2 ; 0 ].
g est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -2 ; 0 ].
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, gof est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -5 ; -3 ].
3 ) f ( x ) = -2x + 5 et g ( x ) = x3 sur l'intervalle I = [ -10 ; 10 [
Comme x ∈ I alors - 10 ≤ x ≤ 10 d'où - 20 ≤ -2x ≤ 20 ainsi - 15 ≤ -2x + 5 ≤ 25 donc f ( x ) est à valeurs dans l'intervalle [ -15 ; 25 ].
f est une fonction strictement décroissante de l'intervalle [ -10 ; 10 [ à valeurs dans l'intervalle [ -15 ; 25 ].
g est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [ -15 ; 25 ].
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, gof est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -10 ; 10 ].
4 ) f ( x ) = 4 − x et g ( x ) = 1
x sur l'intervalle I = ] - ∞ ; 4 [
Comme x ∈ I alors x < 4 d'où - x > - 4 ainsi 4 − x > 0 donc f ( x ) est à valeurs dans l'intervalle ] 0; + ∞ [.
f est une fonction strictement décroissante de l'intervalle ] - ∞ ; 4 [ à valeurs dans l'intervalle ] 0 ; + ∞ [.
g est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [.
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, gof est une fonction strictement croissante sur l'intervalle ] -∞ ; 4 [.
Première S2 Exercices sur le chapitre 4 : E3. Page n ° 2 2007 2008
B ) Déterminons le sens de variation de f sur l'intervalle donné en décomposant f en fonctions de référence.
1 ) f ( x ) = 2x + 5 sur [ -2,5 ; + ∞ [
Soit u la fonction définie sur par u ( x ) = 2x + 5 et soit v la fonction définie sur + par v ( x ) = x Comme x ∈ [ -2,5 ; + ∞ [ alors x ≥ - 2,5 d'où 2x ≥ - 5 donc 2x + 5 ≥ 0.
vou ( x ) = v ( 2x + 5 ) = 2x + 5 = f ( x ). Donc f = v o u
u est une fonction strictement croissante de l'intervalle [ -2,5 ; + ∞ [ à valeurs dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
v est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [ -2,5 ; + ∞ [.
2 ) f ( x ) = 2 − 3 x sur [ 0 ; + ∞ [
Soit u la fonction définie sur + par u ( x ) = x et soit v la fonction définie sur par v ( x ) = 2 − 3x Soit x ∈ [ 0 ; + ∞ [ alors u ( x ) existe.
vou ( x ) = v ( x ) = 2 − 3 x = f ( x ). Donc f = v o u
u est une fonction strictement croissante de l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ à valeurs dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
v est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
3 ) f ( x ) = 1 x 2
1+
− sur ] 0,5 ; + ∞ [
Soit u la fonction définie sur par u ( x )= -2x + 1 et soit v la fonction définie sur * par v ( x ) = 1 x Soit x ∈ ] 0,5 ; + ∞ [ alors x > 0,5 d'où - 2x < -1 donc - 2x + 1 < 0
vou ( x ) = v ( -2x + 1 ) = 1 x 2
1+
− = f ( x ). Donc f = v o u
u est une fonction strictement décroissante de l'intervalle ] -0,5 ; + ∞ [ à valeurs dans l'intervalle ] - ∞ ; 0 [.
v est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; 0 [ . D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle ] 0,5 ; + ∞ [.
