Chapitre 11
Fonctions d'une variable réelle
Notations.
I, J désignent des intervalles de R.
I = [inf(I),sup(I)] est un sous-ensemble deR.
f, gdésignent des fonctions deI dansR.
adésigne un réel de l'intervalleI. I - Généralités - Étude globale I.1 - Algèbre F(I,R)
Notations.
F(I,R)est munit des opérations suivantes :
Addition :f +g : I →R, x7→f(x) +g(x).
Multiplication interne :f ×g : I →R, x7→f(x)×g(x).
Multiplication externe :λ·f : I →R, x7→λ×f(x). Théorème 1 (Structure d’algèbre).
(F(I,R),+,×,·) est uneR-algèbre commutative.
Notations.
On dénit les fonctions suivantes :
Valeur absolue :|f| : I →R+ ; x7→ |f(x)|.
Partie positive :f+ : I →R+ ; x7→max{f(x),0}.
Partie négative :f− : I →R+ ; x7→max{−f(x),0}.
Maximum :max{f, g} : I →R; x7→max{f(x), g(x)}.
Minimum :min{f, g} : I →R; x7→min{f(x), g(x)}.
Exercice 1.Exprimermax{f, g} à l'aide des fonctionsf, g et valeur absolue.
Propriétés 1.
(i). f =f+−f−. (ii). |f|=f++f−. Définition 1 (Relation d’ordre).
La fonctionf est inférieure ou égale à la fonctiong, notéf 6g, si pour toutx∈I,f(x)6g(x). Exercice 2.Montrer que cette relation est une relation d'ordre partiel.
I.2 - Algèbre des fonctions bornées Définition 2 (Majorée, Minorée, Bornée).
La fonction f est majorée (resp. minorée, bornée) si f(I) est majoré (resp. minoré, borné).
Notation.
Fb(I,R) désigne l'ensemble des fonctions bornées.
Théorème 2 (Structure d’algèbre).
(Fb(I,R),+,×,·) est uneR-algèbre commutative.
Définition 3 (Maximum, Minimum, Extremum).
(i). f(a) est un maximum (resp. minimum) de f sur I si f(a) est le plus grand élément (resp. le plus petit élément) def(I).
(ii). f(a) est un extremum sif(a) est un maximum ou un minimum.
(iii). f(a)est un extremum local def s'il existe un réelεstrictement positif tel quef(a)soit un extremum def|]a−ε,a+ε[∩I.
S'il existe, le maximum (resp. le minimum) de f sur I est noté max
I f = max
x∈I f(x) (resp.
minI f).
Définition 4 (Borne supérieure / inférieure).
Si f(I) admet une borne supérieure (resp. inférieure), cette quantité est appelée la borne supérieure (resp. borne inférieure) de f surI et notéesup
I
f (resp.inf
I f).
Exercice 3.Soitf : R+→R, x7→e−x. Identier les bornes supérieures et inférieures de f. I.3 - Fonctions monotones
Définition 5 (Monotonie).
(i). f est croissante sur I si pour tousx, y∈I,[x6y ⇒ f(x)6f(y)].
(ii). f est strictement croissante sur I si pour tousx, y ∈I,[x < y ⇒ f(x)< f(y)]. (iii). f est décroissante sur I si pour tousx, y∈I,[x6y ⇒ f(x)>f(y)].
(iv). f est strictement décroissante sur I si pour tousx, y ∈I,[x < y ⇒ f(x)> f(y)]. (v). f est (strictement) monotone sif est (strictement) croissante ou (strictement) décrois-
sante.
Exercice 4.Déterminer une fonctionf dénie surRqui, pour tout intervalle non vide I, n'est ni croissante ni décroissante surI.
Théorème 3 (Composition & Monotonie).
Soientf ∈F(I,R) etg∈F(J,R), oùf(I)⊂J.
(i). Si f etg sont croissantes, alors g◦f est croissante.
(ii). Si f etg sont décroissantes, alors g◦f est croissante.
(iii). Si f est croissante etg est décroissante (ou l'inverse), alorsg◦f est décroissante.
II - Étude locale des fonctions II.1 - Limites
Définition 6 (Limite).
Soienta∈I et`∈R. La fonctionf admet `pour limite enasi pour tout voisinage V de `, il existe un voisinageW de atel que
∀x∈I, [x∈W ∩I ⇒ f(x)∈V].
Exercice 5.
1. Écrire la dénition de la limite lorsquea∈R et`∈R,. . .
2. Déterminer les limites des fonctionsx7→x,x7→x2 etx7→p
|x|en un réelx0. Théorème 4 (Unicité de la limite).
Sif admet une limite dans Ren a∈I, cette limite est unique et notée lim
x→af(x) = lim
a f. Propriété 2 (Translations).
(i). Soienta∈I, `∈R. Alors, lim
x→af(x) =` si et seulement si lim
x→a(f(x)−`) = 0. (ii). Soienta∈I∩R, `∈R. Alors, lim
x→af(x) =` si et seulement si lim
x→0f(x+a) =`. Définition 7 (Limite à droite, à gauche).
Soienta∈I∩R, `∈R.
(i). f admet une limite à droite ena, notée lim
x→a+f(x), si la restrictionf|I∩]a,+∞[admet une limite en a.
(ii). f admet une limite à gauche en a, notée lim
x→a−f(x), si la restriction f|I∩]−∞,a[ admet une limite en a.
Exercice 6.Calculer les limites à gauche et à droite de la fonction partie entière en tout point de la droite réelle.
Définition 8 (Prolongement de la notion de limite).
Soient a ∈ R, ` ∈ R, c > 0 et f une fonction dénie sur ]a−c, a[∪]a, a+c[. La fonction f admet une limite ` en a si elle admet une limite à gauche et à droite en a et si ces limites valent `.
II.2 - Continuité ponctuelle Définition 9 (Continuité).
Soit a∈I. Sif admet une limite` ena, alors `=f(a). La fonctionf est continue en a. Définition 10 (Continuité à gauche, à droite).
Soit a∈I.
(i). f est continue à droite en asilim
a+ f =f(a). (ii). f est continue à gauche enasi lim
a− f =f(a).
Théorème 5 (Prolongement par continuité).
Soienta∈R,D ⊂R,f ∈F(D,R) eth >0 tel que[a−h, a+h]\{a} ⊂D.
(i). Si a ∈ D, alors f est continue en a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche ena.
(ii). Si a 6∈ D, alors f admet une limite ` ∈ R en a si et seulement si elle admet ` pour limite à droite et à gauche en a. Si ` ∈ R, la fonction feest continue en a, où
fe : D∪ {a} → R x6=a 7→ f(x)
a 7→ `
La fonction feest le prolongement par continuité def ena.
Exercice 7.
1. Soita∈R. Montrer que la fonction f : x7→ xx−a3−a3 est prolongeable par continuité.
2. Soitf : R?→R, x7→ sinxx . Montrer que f est prolongeable par continuité.
II.3 - Limites nies
Propriété 3 (Limite & Bornée).
Toute fonction qui admet une limite nie en a∈I est bornée au voisinage dea. Propriété 4 (Limite & Signe).
Soit a∈I, `∈R. On suppose que lim
x→af(x) =`.
(i). Si ` >0, alors il existe un voisinageV deatel que pour tout x∈V ∩I,f(x)>0. (ii). Si ` <0, alors il existe un voisinageV deatel que pour tout x∈V ∩I,f(x)<0. Propriété 5 (Fonctions de limite nulle).
Soientλ∈Reta∈I.
(i). L'ensemble des fonctions de limite nulle en aest un espace vectoriel.
(ii). Si lim
x→af(x) = 0 etgest bornée au voisinage de a, alors lim
x→af(x)g(x) = 0. II.4 - Opérations sur les limites
Propriété 6.
Soienta∈I, `, m∈Retλ, µ∈R. On suppose que lim
a f =`etlim
a g=m.
(i). Si λ`+µm n'est pas une forme indéterminée, alors lim
a (λf+µg) =λ`+µm. (ii). Si `m n'est pas une forme indéterminée, alorslim
a (f g) =`m.
Exercice 8.Montrer que les fonctions polynomiales sont continues en tout point.
Propriété 7.
Soienta∈I etlim
a f = +∞.
(i). Si g est minorée au voisinage de a, alors lim
a (f +g) = +∞.
(ii). Si g est minorée au voisinage de apar un réel strictement positif, alorslim
a f g= +∞. Exercice 9.Écrire une propriété analogue lorsquelim
a f =−∞. Propriété 8.
(i). Si lim
a f =`∈Retlim
a g=m∈R?, alors fg est dénie au voisinage deaetlim
a f g = m`. (ii). Si f, gsont continues enaet sig(a)6= 0, alorsg ne s'annule pas enaet fg est continue
en a.
II.5 - Limites et Relation d'ordre Propriété 9.
Soienta∈I,α ∈RetV un voisinage de ainclus dansI. (i). Si pour tout x∈V,f(x)6α et silim
a f existe, alorslim
a f 6α. (ii). Si pour tout x∈V,f(x)6g(x) et silim
a f etlim
a g existent, alorslim
a f 6lim
a g.
Théorème 6 (Théorème d’encadrement).
Soit a∈I etV un voisinage de ainclus dansI. (i). Si pour tout x∈V,|f(x)|6g(x) etlim
a g= 0, alors lim
a f existe et vaut 0. (ii). Si pour tout x ∈ V, h(x) 6 f(x) 6 g(x) et si lim
a h = lim
a g, alors lim
a f existe et lima f = lim
a g= lim
a h. II.6 - Composition des limites
Théorème 7 (Théorème de composition des limites).
Soit g ∈ F(J,R) telle que g(J) ⊂ I. Soient a ∈ J , ` ∈ I, m ∈ R tels que lim
a g = ` et lim` f =m. Alors,lim
a f ◦g existe et vautm.
Théorème 8 (Caractérisation séquentielle de la continuité).
Soit a ∈ I. f admet une limite ` ∈ R en a si et seulement si pour toute suite réelle (un) à valeurs dans I telle quelim
n un=a, la suite(f(un))n∈N converge vers`.
Exercice 10.Montrer que x7→cos1x n'est pas continue en 0. II.7 - Fonctions monotones
Théorème 9 (Théorème de la limite monotone).
Soienta, b∈R, a < b, I=]a, b[etf ∈F(I,R) une fonction croissante.
(i). Si f est majorée, lim
b f existe et vautsup
I
f. (ii). Si f n'est pas majorée, lim
b f = +∞. (iii). Si f est minorée, lim
a f existe et vaut inf
I f. (iv). Si f n'est pas minorée,lim
a f =−∞.
Exercice 11.Énoncer puis démontrer le théorème de la limite monotone lorsque la fonctionf est décroissante.
Corollaire 10.
Toute fonction monotone admet des limites à droite et à gauche en tout point de son intervalle de dénition. Ces limites sont nies en tout point qui n'est pas une extrémité de I.
II.8 - Suites récurrentes
Soit(un)une suite dénie par récurrence paru0∈Iet, pour tout entier natureln,un+1=f(un). 1. Montrer que la suite(un) est bien dénie, i.e.∀ n∈N, un∈Df.
2. Étude de la monotonie deu.
a)Six7→f(x)−x est de signe constant,uest monotone.
b)Sif est croissante, u est monotone et de monotonie déterminée par le signe deu1−u0. c)Sif est décroissante,(u2n) et(u2n+1) sont monotones de sens contraire.
3. Déduire de l'étude précédente la convergence de la suiteu.
4. Détermination de la limite éventuelle comme solution de`=f(`).
Exercice 12.Étudier la convergence de la suite dénie par u0 = 0 et pour tout n ∈ N, un+1 = ln(3 +un).
III - Fonctions continues sur un intervalle III.1 - Structures
Définition 11 (Continuité sur un intervalle).
La fonction est continue sur I si elle est continue en tout point deI. Notations.
C(I,R) désigne l'ensemble des fonctions continues surI à valeurs dans R.
Théorème 11 (Structure d’algèbre). (C(I),+,×,·) est uneR-algèbre.
Exercice 13.Soitf ∈C(I). Montrer quef+, f−,|f|,max{f, g},min{f, g}sont continues surI. Propriété 10 (Continuité & Composition).
Soientf ∈C(I), g∈C(J) telles queg(J)⊂I. Alorsf◦g∈C(J). Propriété 11 (Continuité & Restriction).
SoientJ ⊂I etf ∈C(I). Alorsf|J ∈C(J). Propriété 12 (Continuité & Prolongement).
Sif ∈C(I∩[a,+∞[)∩C(I∩]− ∞, a]), alors f ∈C(I). III.2 - Image d'un intervalle
Théorème 12 (Théorème des Valeurs Intermédiaires).
Soit f ∈C([a, b]). Pour toute valeur y comprise entre f(a) etf(b), il existe un réelc ∈[a, b]
tel que f(c) =y.
Exercice 14.Écrire un algorithme qui calcule le zéro d'une fonction monotone par dichotomie.
Corollaire 13.
L'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.
Corollaire 14.
Une fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalleI garde un signe constant.
Théorème 15 (Théorème des bornes).
Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
III.3 - Fonctions monotones Lemme 1.
Soitf une fonction monotone sur un intervalleI. Sif(I)est un intervalle, alorsf est continue.
Théorème 16 (Théorème de la bijection monotone).
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors f est une bijection deI surJ =f(I).
La bijection réciproquef−1 est continue et strictement monotone deJ surI, de même mono- tonie quef.
IV - Dérivation
IV.1 - Théorème de Rolle, Théorème des acrroissements nis Théorème 17 (Théorème de Rolle).
Soient a < b deux réels et f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) =f(b). Alors
∃ c∈]a, b[ ; f0(c) = 0.
Théorème 18 (Théorème des accroissements finis).
Soienta < b deux réels et f une fonction continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[. Alors
∃c∈]a, b[ ; f(b)−f(a) =f0(c)(b−a).
Exercice 15. En utilisant le théorème des accroissements nis, montrer que pour tout réel x,
1
x+1 6ln(x+ 1)−ln(x)6 1x. En déduire que Pn
k=1 1
k ∼lnn. Théorème 19 (Inégalité des accroissements finis).
Soit f ∈ D(I) telle que pour tout x ∈ I, |f0(x)| 6 M. Alors, pour tout x, y ∈ I, x 6=
y,
f(x)−f(y) x−y
6M.
En particulier, si pour toutx∈I,m6f0(x)6M, alorsm(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a). Exercice 16.Montrer que la fonction sinus est lipschitzienne sur R.
IV.2 - Applications du théorème des accroissements nis Théorème 20 (Caractérisation des fonctions monotones).
Soit f ∈D(I).
(i). f est croissante sur I si et seulement si f0(x)>0,∀x∈I.
(ii). f est décroissante sur I si et seulement sif0(x)60,∀ x∈I. Corollaire 21.
Soit f ∈D(I).f est constante surI si et seulement si f0(x) = 0,∀x∈I. Théorème 22 (Caractérisation de la stricte monotonie).
Soitf ∈D(I).f est strictement monotone surI sif0 est de signe constant surI et s'il n'existe pas d'intervalle (non réduit à un point) inclus dansI sur lequel f0 est identiquement nulle.
Théorème 23 (Théorème de prolongement dérivable).
Soient a∈I, `∈R etf une fonction continue sur I et dérivable sur I\{a}. Si lim
x→af0(x) =`, alors
x→alim
f(x)−f(a) x−a =`.
En particulier,
(i). Si `∈R, alors f est dérivable enaetf0(a) =`.
(ii). Si ` = ∞, alors f n'est pas dérivable en a. La courbe représentative de f admet une tangente verticale ena.
Exercice 17.Soitf dénie pour tout réel non nulxparf(x) =x2sinx1 etf(0) = 0. Montrer que f est continue sur Ret dérivable surR mais quef0 n'admet pas de limite en 0.
Corollaire 24 (Théorème de prolongement de classeCk).
Soit k ∈ N∪ {∞}. Si f est une fonction de classe Ck sur I\{a} et pour tout i∈ J0, kK,f(i) possède une limite nie ena, alors f admet un prolongement de classeCk surI.
V - Fonctions à valeurs complexes Notations.
I désigne un intervalle de R.
f désigne une fonction deI dansC.
V.1 - Dénitions
Définition 12 (Conjugué, Module, Partie réelle, imaginaire). Soit f : I →C. On dénit les fonctions suivantes.
f : I →C, x7→f(x),
|f| : I →R+, x7→ |f(x)|, Re(f) : I →R, x7→Re(f(x)), Im(f) : I →R, x7→Im(f(x)).
Théorème 25 (Structure d’algèbre).
(F(I,C),+,×,·) est uneC-algèbre commutative.
Définition 13 (Bornée).
f est bornée si |f|est bornée. L'ensemble des fonctions bornées est notéFb(I,C). Théorème 26 (Structure d’algèbre).
(Fb(I,C),+,×,·) est uneC-algèbre commutative.
V.2 - Limites Définition 14 (Limite).
Soienta∈I, `∈C. La fonction f admet pour limite `quandx tend versasi et seulement si
x→alim|f(x)−`|= 0. Proposition 13.
Soienta∈I, `∈C. Sif admet `pour limite,` est unique. On note lim
x→af(x) =`. Proposition 14.
Soienta∈I, `∈C. lim
x→af(x) =`si et seulement si lim
x→aRe(f(x)) =Re(`)et lim
x→aIm(f(x)) = Im(`).
Proposition 15.
Toute fonction admettant une limite en un point est bornée au voisinage de ce point.
Définition 15 (Continue).
Soit a∈I. La fonctionf est continue en asi et seulement si lim
x→af(x) =f(a). Proposition 16.
Soit a∈I.f est continue enasi et seulement siRe(f) etIm(f) le sont.
V.3 - Opérations sur les limites Proposition 17.
Soient f, g ∈F(I,C), a∈ I. On suppose qu'il existe deux nombres complexes `, m tels que lima f =`etlim
a g=m. Soit λ∈R.
(i). Les fonctions λf +g et f ×g admettent pour limites respectives en a les nombres complexesλ`+m et`m.
(ii). Si 1/f est dénie sur un voisinage dea et si`6= 0, alors 1/f admet pour limite1/` en a.
Définition 16 (Continuité sur un intervalle).
La fonction f est continue surI si et seulement si elle est continue en tout point de I. L'ensemble des fonctions continues surI est noté C(I,C).
Théorème 27 (Structure d’algèbre).
(C(I,C),+,×,·) est uneC-algèbre commutative.
V.4 - Dérivabilité Définition 17 (Dérivabilité).
Une fonctionf est dérivable en asi et seulement si h7→ f(a+h)−fh (a) admet une limite quand h tend vers 0.
Cette limite s'appelle le nombre dérivé enaet se notef0(a).
Sif est dérivable pour tout élément deI, on notef0 : I →C, a7→f0(a) la fonction dérivée.
Proposition 18 (Parties réelle / imaginaire).
f est dérivable en asi et seulement siRe(f)etIm(f) sont dérivables ena. Alorsf0(a) =Re(f)0(a) +iIm(f)0(a).
Proposition 19 (Caractérisation des fonctions constantes).
Soit f ∈D(I,C).f est constante si et seulement si f0(x) = 0,∀x∈I. Proposition 20 (Structure).
Soienta∈I,f, g dérivables enaetλ∈C.
(i). f+λg est dérivable enaet(f+λg)0(a) =f0(a) +λg0(a). (ii). f g est dérivable enaet(f g)0(a) =f0(a)g(a) +f(a)g0(a).
(iii). Si g(a) 6= 0, f /g est dénie au voisinage de a, dérivable en a et
f g
0
(a) =
f0(a)g(a)−f(a)g0(a) g(a)2 . Proposition 21 (Composition).
SoientJ un intervalle, f ∈F(I,C), g∈F(J, I) eta∈J.
La fonction f◦g est dérivable enaet(f ◦g)0(a) =g0(a)·f0(g(a)). Définition 18 (Dérivéesn-ème).
Soit f ∈F(I,C). On dénit par récurrence f(0) =f et pour tout n∈N?,f(n) est la dérivée, si elle existe, de la fonctionf(n−1).
Proposition 22 (Formule de Leibniz).
Soient f, g deux fonctions n fois dérivables. Pour tout x ∈ I, (f g)(n)(x) = Pn
k=0 n k
f(k)(x)g(n−k)(x).
Définition 19 (ClasseCn).
Soit n∈N. Une fonction est de classe Cn surI si et seulement si elle estn fois dérivable sur I et si sa dérivéenème est continue surI.
Une fonction est de classe C∞ si elle est dérivable à tout ordre.
Propriété 23 (Structure).
L'ensemble des fonctions de classeCn surI est uneC-algèbre commutative.
Exercice 18.Pour tout x∈R, posonsf(x) =eix = cosx+isinx. 1. Montrer quef(2π) =f(0).
2. Pour toutx∈R, calculerf0(x).
3. Que penser de l'égalité des accroissements nis ? Théorème 28 (Inégalité des accroissements finis).
Soit f ∈C1(I,C). S'il existe un réelK tel que pour toutx∈I,|f0(x)|6K, alors
∀(x, y)∈I2,|f(x)−f(y)|6K· |x−y|.
